辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈9：
极限
第 I 卷
一 选择题（每小题5分，共60分）
1 某个命题与正整数
有关，若
时该命题成立，那么可推得
时该命题也成立，现已知
时，该命题不成立，则可以推得（ ）
A 
时该命题成立
B 时该命题不成立
C 
时该命题成立
D 时该命题不成立
2 
下面四个命题中：
（1）若
是等差数列，则的极限不存在；
（2）已知
，当
时，数列的极限为1或-1。
（3）已知
，则
。
（4）若
，则
，数列的极限是0。
其中真命题个数为（ ）
A 1
B
3 如果
存在
，则
的取值范围是（ ）
A 
B
C 
D
4 已知，那么数列在区间
为任意小的正数）外的项有（ ）
A 有限多项 B 无限多项
C 0 D 有可能有限多项也可能无限多项
5 下列数列中存在极限的是（ ）
A
B 
C 
D 
6 
（ ）
A 1
B 
C 
D
2
7 
（ ）
A
1
B C
D
8 已知
，其中
，则实数
的取值范围是（ ）
A 
B
C 
D
9 在等比数列中
，且前
项的和为
切满足
，则
的取值范围是（ ）
A 
B
C
D
10 
（ ）
A
4
B 
D
11 已知等比数列
的公比为，则有
，则首项
的取值范围是（ ）
A
B
C 
D
1.
已知定义在
上的函数
同时满足条件：①
；②
且
③当
时
。若的反函数是
，则不等式
的解集为
（ ）
A
B C
D
第 II 卷
二 填空题
13 若
，则
____________
14 已知函数
，若
存在，则
的值为_________，
15 设常数
，
展开式中
的系数为
，则
_____。
16已知抛物线
与
轴交于点A，将线段OA的等分点从坐到右依次记为
，过这些分点分别作
轴的垂线，与抛物线的交点依次是 
，从而得到
个直角三角形
，当 
时，这些三角形的面积之和的极限为_________
三 解答题
17 已知函数
在
处连续，求实数
的值。
18 已知是首项为1，公差为
的等差数列，其前项和为
；
是首项为1，公为
的等比数列，其前项和为
，设
，若
，
求实数
和的值。
19 已知数列的通项公式为
，记
。
（1）写出数列的前四项。
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明。
（3）令
，求
。
20 已知数列中
，其前项和为
，且满足
。
（1）求数列的通项公式。
（2）若数列满足
，
为前项和，若
，求实数
的值。
21 若不等式
对一切正整数都成立，求正整数 的最大值，并证明你的结论。
22 已知数列，与函数
满足条件：
。
（1）若
，且
存在，求实数
的取值范围，并用表示。
（2）若函数
为上的函数，
，试证明对任意的
。
1 D 解析：由已可知，该命题满足数学归纳法定义，即存在某自然数
，当
时，对所有 均成立，而时，命题不成立，是针对命题不成立中的有限项，显然针对时，
命题不会成立。，故选D。
为常数列，可知（1）为假命题；而由极限存在的唯一性，可知（2）也为假命题；对于（3）满足极限定义可知是正确的；对于（4），由于与极限定义矛盾，应该趋于该数时的项，即不为0，故（4）也为假命题。故选A。
3 D 解析：当
时
，
极限显然不存在，而
时，可得
为常数数列存在极限，
时，
为摆动数列，极限不存在，故选D。
4 B解析：由，存在自然数，当时，
无限趋于
，而数列在区间为任意小的正数），即所有趋于的项应该有无数多项，选B。
5 D解析：容易知道A应该为项为0和2的摆动数列，不存在极限；B为包含三个项1，0，-1循环出现的数列，不存在极限；C一定不存在极限；而D中为两个特征列
，而时
，故极限存在，故选D。
，选C。
故有
，选C。
时
，而当时， 
，故选C。
9 D解析：
，故选D。
，选C。
11 D 解析：由可知
或
，故知D符合题意。
，而，故函数是上的增函数，故有也是定义域上的增函数，由可知C符合题意。
13
解析： 
14 解析：
，
故易得
15 解析：
，由
由
，所以
，所以为1。
16 解析： 可分别表示各个三角形的面积后再求。
，
，
=
，故
17解析：因为
在处连续，则
存在，即
存在且相等，
存在，则
中必定含有因式
。即是方程
的根，故有
，①则
，
同样
存在， 则
含有因式，则即是方程
的根，即有
，②故有
，故有
，③，故有
，再由
，故有
。
18解析：由题可知
，
，故有
，故
，故有
，并项整理可得
，由极限定义，必有
19解析：（1）由
，可得
，于是有
（2）可猜测
，现在用数学归纳法证明之。
①
当
时，由于归纳已经证明符合猜测。
②
假设
时，猜测成立，即
，而
则有
时，
，即对时，猜测仍然成立。
（3） 
，
。
20解析：（1）
，化解可得
，由于，故有
，即为公差为4的等差数列，再由
，故有
。
（2） 由有
，
，故有
，由于其他部分为常数，故必然有
存在，即有
，此时有
21解析：当
时
。可猜测的最大值为25。下面用数学归纳法证明。
（1）时，命题成立已经证明。
（2）假设
时，命题成立，即
，
则当时，
=
故有
，即命题对于时也成立。
故的最大值为25。
22解析：（1）由题设可知
，即
，两式子相减，可得
，则
是公比为
的等比数列，首项为
，
则
，
，左右两边分别相加可得
，故可得
，由于存在，则
存在，故有
，故
且
。
（2）因
，故有
，即
，
下面用数学归纳法证明之。
① 当
时，由为增函数，且
，得
，即命题成立。
② 假设命题当
时成立，即
，则由为增函数，可得
，从而
，
即命题对
时仍然成立，故对任意的成立。