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一元二次方程专题复习（二）

           根与系数的关系及其应用

如果一元二次方程ax²＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x₁，x₂，那么

反过来，如果x₁，x₂满足x₁+x₂=p，x₁x₂=q，则x₁，x₂是一元二次方程x²-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．

 【典型例题】

应用一：已知一个根，求另一个根；

例1 ： 方程(1998x)²-1997?1999x-1=0的大根为a，方程x²＋1998x-1999=0的小根为b，求a-b的值．

解 : 先求出a，b．

由观察知，1是方程(1998x)²-1997?1999x-1=0的根，于是由韦达定理知，另一根为，于是可得a=1.又从观察知，1也是方程x²＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999．

所以a-b=1-(-1999)=2000．

应用二：求根的代数式的值

不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含，的形式，然后把，的值代入，即可求出所求代数式的值．常见的代数式变形有：

①     ②

③   ④

⑤

例2：  已知二次方程x²-3x＋1=0的两根为α，β，求：

（1）    （2）   (3)α³＋β³

解：  由韦达定理知 ：      α+β=3，   α?β=1．

（1）   （2）

(3)α³＋β³=(α+β)(α²-αβ+β²)=(α+β)[(α+β)²-3αβ]=3(9-3)=18；

例3： 设方程4x²-2x-3=0的两个根是α和β，求4α²＋2β的值．

解：  因为α是方程4x²-2x-3=0的根，所以

4α²-2α-3＝0，

即   4α²=2α＋3．由韦达定理可知，.所以

4α²+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．

例4：  已知α，β分别是方程x²＋x-1=0的两个根，求2α⁵+5β³的值．

解：  由于α，β分别是方程x²＋x-1=0的根，所以

α²+α-1=0，β²+β-1=0，

即   α²=1-α，β²=1-β．

α⁵=(α²)²?α=(1-α)²α=(α²-2α+1)α=(1-α-2α+1)α= -3α²+2α

= -3(1-α)+2α=5α-3，

β³=β²?β=(1-β)β=β-β²=β-(1-β)=2β-1．所以

2α⁵+5β³=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21．

说明：  此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要．

应用三：与两根之比有关的问题；

例5：  已知x₁，x₂是一元二次方程 4x²-(3m-5)x-6m²＝0的两实数根，且，求m的值.

解：  首先，△=(3m-5)²＋96m²＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知

从上面两式中消去k，便得

即   m²-6m+5=0，

所以      m₁=1，m₂=5．

应用四：求作新的二次方程

例6：  求一个一元二次方程，使它的两根分别是。

解：

例7：  已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。

    分析：所求方程，只要求出的值即可。

    解：设所求一元二次方程为

   为方程的两根

    ∴由韦达定理

    又

    ∴所求一元二次方程为

    即：

点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为，当为分数时，往往化成整系数方程。

应用五：求方程中某些待定字母系数的值

例8：  已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。

    （1）用含m的代数式表示；

    （2）当时，求m的值。

       解：（1）由题意：

    （2）由（1）得：

    解得：

    检验：当时，原方程无实根。

    ∴舍去

    当时，原方程有实根。

    ∴

    点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。

应用六：判断一元二次方程根的符号

例9：  已知方程.m为何值时，方程有两个正根.

解：.

，

∴m为任何实数时，方程都有两个不相等的实数根.

当方程的两个根都为正数时，有，且.解不等式组

，解得  m>7.  ∴ m>7时，方程有两个正实数根

【模拟试题】

一. 选择题。

  1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（    ）

    A. 2，-1                B. -1，2                C. -2，1                D. 1，-2

  2. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（    ）

    A. 4               B. -4                     C. 1               D. -1

  3. 若方程有两负根，则k的取值范围是（    ）

    A.              B.               C.              D.

  4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（    ）

    A.                      B.

    C.                      D. 不能确定

  5. 方程的大根与小根之差等于（    ）

    A.            B.           C. 1               D.

  6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（    ）

    A.                      B.

    C.                      D.

7. 若方程组有两组相同的实根，则m=_______________。

    A. 1               B. 2               C. 3               D. 4

二. 填空题。

  7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m＝________。

  8. 已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是______。

  9. 已知方程的两根，且，则________。

  10. 已知是方程的两根，不解方程可得：________，________。

  11. 已知，则以为根的一元二次方程是______________________________。

12.如果一个矩形的长和宽是一元二次方程的两个根，那么这个矩形的周长是_________

 三. 解答题。

 13. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。

14. 已知方程的两根不解方程，求的值。

15. 已知方程的两根，求作以为两根的方程。

 16. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。

17.已知关于x的方程

（1）当方程有两个相等的实数根，求m的取值，并求出此时方程的根。

（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出m的值，不存在，说明理由。

2007-2008年北京中考数学一元二次方程试题汇编

1.已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实根中，有一个根是0，则m的值为_________________________.

2.已知：关于x的二次方程的一个根为x=1，且有，则的值为_____________________.

3.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 （　　）

A.甲        B.乙        C.丙       D. 乙或丙

4.“5?12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修米，所列方程正确的是（    ）

A．           B．

C．           D．

6.已知：关于的一元二次方程．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．

（1）证明：

（2）解：

（3）解：

7.已知：关于x的两个方程 ① 与  ②

方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根

⑴求证方程②的有两根符号相同；

⑵设方程②的两根分别为，若：=1：3，且n为整数，求m的最小整数值.

8.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.

⑴ 求k的取值范围；

⑵ 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值.

9.北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通信公司开发了一种新型通信产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约为400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要赢利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约是多少？（百分号前保留整数，参考数据：）

10.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况请解答以下问题：

⑴ 当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

⑵ 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

11. 某商店有一批衬衫将出售，如果每件盈利40元，每天可售出20件，为了尽快减少库存，增加盈利，商场决定降价出售，经过调查得知，若每件衬衫降价1元，则平均每天多售出2件，问：

（1）每件衬衫应降价多少元时，平均每天可盈利1200元；

（2）商场每天盈利能不能达到1250元，若能达到，每件衬衫应降价多少元？若不能达到，请说明理由。

12. 一块矩形耕地大小尺寸如图1，如果修筑同样宽的两条“之”字形的道路，如图1所示，余下的部分作为耕地．要使耕地的面积为540m²，道路的宽应是多少？

13. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？

14. 在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程为                 .

15.在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

16.如图，有一长方形的地区，长为x千米，宽为12千米，现规划将它分成三部分：甲、乙、丙．甲和乙为正方形．若已知丙地的面积为32平方千米，试求x的值．

16.一块矩形耕地大小尺寸（如图1所示）要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米²，那么水渠应挖多宽？

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一元二次方程专题复习（一）

【课标要求】

1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0).

2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.

3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.

4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.

5. 会解一元二次方程应用题.

【知识梳理】

1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:a²x+bx+c=0(a≠0)

    四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：

     x= (b²-4ac≥0)

    注意：掌握一元二次方程求根公式的推导；主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”。

   2．根的判别式及应用(△=b²-4ac)：

    (1)判定一元二次方程根的情况。

    (2)确定字母的值或取值范围。

    3．根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=―，x_1?x₂=。

    (1)已知一根求另一根及未知系数；

    (2)求与方程的根有关的代数式的值；

    (3)已知两根求作方程；

    (4)已知两数的和与积，求这两个数；

    (5)确定根的符号:(x₁，x₂是方程两根)。

    应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，即以x₁、x₂为根的一元二次方程为x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0;求字母系数的值时，需使二次项系数a≠0，同时满足△≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和x₁+x₂，两根之积x₁x₂的代数式的形式，整体代入。

   4．一元二次方程的应用：解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程。最后还要注意求出的未知数的值，是否符合实际意义。

【中考主要考点】

①利用一元二次方程的意义解决问题

 ②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）

③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）

④一元二次方程的解法

⑤一元二次方程根的近似值

⑥建立一元二次方程模型解决问题

⑦利用根的判别式求方程中的字母系数的值和利用根与系数关系求代数式的值

 ⑧与一元二次方程相关的探索或说理题

⑨与其他知识结合，综合解决问题

一元二次方程的定义、解法

Ø      要点、考点聚焦

1. 加深理解一元二次方程的有关概念及一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0 (a≠0)

2.熟练地应用不同的方法解方程；直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；并体会“降幂法”在解方程中的含义.（其中配方法很重要）

Ø      课前热身

1. 当a__________时，方程ax²＋3x＋1＝0是一元二次方程.

2. 已知x=1是方程x²+ax+2=0的一个根，则方程的另一根为__________.

3.一元二次方程x(x-1)=x的解是_____________.

4. 若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)，且a+b+c=0，则方程必有一根为_______.

5. 用配方法解方程x²-4x+2=0,则下列配方正确的是(    )

A  (x-2)²=2     B  (x+2)²=2     C  (x-2)²=-2     D  (x-2)²=6

Ø      典型例题解析

1、关于x的一元二次方程(ax－1)(ax－2) ＝x²－2x＋6中，求a的取值范围___________.       

2、已知：关于x的方程x²－6x＋m²－3m－5＝0的一个根是－1，求方程的另一个根及m的值。

3、用配方法解方程2x²-x-1=0

【课时训练】

1、关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（   ）

A、           B、           C、或         D、

2、解方程的最适当的方法（    ）

A. 直接开平方法    B. 配方法       C. 因式分解法                   D. 公式法

3、若a－b＋c＝0，则一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有一根是（   ）

    A. 2             B. 1             C. 0                  D. －1

4、k____________时，(k²－9)x²＋(k－5)x－3＝0不是关于x的一元二次方程.

5、已知方程，则代数式_________.

6、解下列方程：

（1）(x－1)²＝4             (2)x²－2x－3＝0                 (3)2t²－7t－4＝0（用配方法）

一元二次方程根的判别式

Ø      要点、考点聚焦

1.一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的情况：

(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；

(3)当Δ＜0时，方程无实数根.

2.一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围．

Ø      课前热身

1.(2008年?西宁市)若关于x的一元二次方程mx²-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是                               (      )

     A.m＜1                      B. m＜1且m≠0

     C.m≤1                      D. m≤1且m≠0

2. (2008年?南通市)若关于x的方程x²+(2k-1)x+k²-=0有两个相等的实数根，则k=          .

3.( 2007巴中市）一元二次方程的根的情况为（　　）

A. 有两个相等的实数根    B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根     D. 没有实数根

4、(2007湖北天门）已知关于x的一元二次方程x²＋4x＋m－1＝0。请你为m选取一个合适的整数，当m=________时，使得到的方程有两个不相等的实数根；

Ø      典型例题解析

【例1】  已知关于x的方程(m-2)x²-2(m-1)x+m+1=0，当m为何非负整数时：

(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.

【例2】 已知a，b，c是三角形的三条边，

求证：关于x的方程b²x²＋(b²＋c²－a²)x＋c²＝0没有实数根

【课时训练】

1、（2007巴中市）一元二次方程的根的情况为（　　）

A. 有两个相等的实数根             B. 有两个不相等的实数根

C. 只有一个实数根                    D. 没有实数根

2、（2007安徽芜湖）已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ）

A. m＞－1         B.  m＜－2       C. m ≥0          D. m＜0

3、一元二次方程（1－k）x²－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.                                                       

4、求证：关于x的方程x²＋(2k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根。

  中考试题来做

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广东省惠州市2008届高三第二次调研考试

数学试题（理科）2007.11

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09年北京中考数学一模压轴题精选

【海淀一模】1、我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对

顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个

四边形的一对等高点.例如：如图1,平行四边形ABCD

中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是

平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D

也是平行四边形ABCD的一对等高点.                            图1

（1）如图2，已知平行四边形ABCD, 请你在图2中画出一个只有一对等高点的四

边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；

（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别

探究图3、图4中S₁, S₂, S₃, S₄四者之间的等量关系(S₁, S₂, S₃, S₄分别表示△ABP,

△CBP, △CDP, △ADP的面积)：

① 如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是     ________；

② 如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是          ____________.

        图2                      图3                       图4

【海淀一模】2、已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax²-bx+kc

（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

   （1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

   （2）求代数式的值；

（3）求证: 关于x的一元二次方程ax²-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

【海淀一模】3、在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.

原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90° , ∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB,  EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.

小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问

题得解.

小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.

小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；

（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在

（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中

得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.

【海淀一模】4、已知抛物线经过点 A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2)，与x轴正半轴交于点D.

   （1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；

   （2）在x轴上求一点E, 使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；

   （3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC, 与BE、CE分别交于

点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E¢FG. 设P（x, 0）, △E¢FG与四边形FGCB

重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.

【东城一模】5、已知：关于的一元二次方程

（1）若求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求的值．

（东城）24. （本题满分7分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示，抛物线经过点B．

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【东城一模】6、请阅读下列材料：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如右图1,若弦AB、CD交于点P则PA?PB=PC?PD．请你根据以上材料，解决下列问题.

已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R.（如图2）

(1)若AC恰经过圆心O,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；

(2)若OP⊥AC, 请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；

(3)若AC是过点P的任一弦（图2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想：的值，并给出证明．

【房山一模】7、已知关于x的一元二次方程kx²＋（3k＋1）x＋2k＋1＝0.

（1）求证：该方程必有两个实数根；

（2）设方程的两个实数根分别是，若y₁是关于x的函数，且，其中m=,求这个函数的解析式；

（3）设y₂＝kx²＋（3k＋1）x＋2k＋1，若该一元二次方程只有整数根，且k是小于0 的整数.结合函数的图象回答：当自变量x满足什么条件时，y₂>y₁?

【房山一模】8、已知：二次函数y=ax²-x+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求△ABC的外接圆圆心D的坐标及⊙D的半径；

（3）设⊙D的面积为S,在抛物线上是否存在点M，使得S_△ACM=，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【房山一模】9、已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形, ∠ABC＝∠ADE=， AB= BC，AD=DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，联结DF、BF.

（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；

（2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转，再联结CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；

（3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在到之间），再联结CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论

图1                   图2                   图3

【门头沟一模】10、已知以x为自变量的二次函数y=x²＋2mx＋m－7．

（1）求证：不论m为任何实数，二次函数的图象与x轴都有两个交点；

（2）若二次函数的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，关于x的一元二次方程m²x²＋(2m＋3)x＋1=0有两个实数根，且m为整数，求m的值；

（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程 x²＋2(a＋m)x＋2a－m²＋6 m－4=0 有大于0且小于5的实数根，求a的整数值．

【门头沟一模】11、在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y＝－x²＋bx＋c与x轴交于A、B 两点（点A在

点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为（1，0）， 点C的坐标

为（0，3）．

（1）求抛物线及直线AC的解析式；

（2）E、F是线段AC上的两点，且∠AEO＝∠ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N．当MF=DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？ 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角∠QCO与∠BCO           的大小（直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点 Q的横坐标x的取值范围）．

 【门头沟一模】12、如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,点E在AB上， F是线段BD的中点，连结CE、FE.

（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；

（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

     （3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

【延庆一模】13、（本题满分4分） 如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为．

（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”纸按如下步骤折叠：

第一步：将矩形的短边与长边对齐  折叠，       点落在上的点处，铺平后 得折痕；

第二步：将长边与折痕对齐折叠，点正好与点重合，铺平后得折痕．则的值是        .

（2）求“2开”纸长与宽的比__________.

（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“”型图案，它的四个顶点分别在“16开”纸的边上，求的长．

【延庆一模】14、 阅读理解：对于任意正实数，，，

，只有当时，等号成立．

结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，

只有当时，有最小值．

根据上述内容，回答下列问题：

（1） 若，只有当         时，有最小值          ．

（2） 探索应用：已知，，点P为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，．

求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．

【延庆一模】15、如图24－1，正方形ABCD和正方形QMNP， M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

（1）猜想：ME 与MF的数量关系

（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明．

（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由．

（4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ，

AB:BC = m，其它条件不变，求出ME：MF的值。（直接写出答案）

【延庆一模】16、 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为x=2,且经过B（0，4），C（5，9），直线BC与x轴交于点A.

（1）求出直线BC及抛物线的解析式.

_{（2）D（1，y）在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M、N，且MN=2 ，点M在点N的上方，使得四边形BDNM的周长最小，若存在，求出M 、N两点的坐标，若不存在，请说明理由.}

（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线BC距离为的点P．

09年北京中考压轴题精选答案

（海淀一模）1．解：            

（1）比如：                    或                         ………………1分

（2）①S₁ +S₄ = S₂ +S₃, S₁ +S₃ = S₂ +S₄或S₁×S₃ = S₂×S₄或等.   ……………2分

②S₁×S₃ = S₂×S₄或等.      ……………………………………………4分

（海淀一模）2、（1）解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.

依题意 k-1≠0.

∴ .       ……………………………………………………………1分

∵ 方程的根为正整数，k为整数,

∴ k-1=1或k-1=2.

∴ k₁= 2, k₂=3.      ……………………………………………………………2分

   （2）解：依题意，二次函数y=ax²-bx+kc的图象经过点（1，0），

       ∴ 0 =a-b+kc,  kc = b-a .

∴

                 =              …………………………3分

（3）证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)²-4ac= b²-4ac.

     由a≠0, c≠0, 得ac≠0.

( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b²-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数

根.      ………………………………………………………………4分

( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.

Δ=b²-4ac= (a+kc)²-4ac=a²+2kac+(kc)²-4ac = a²-2kac+(kc)²+4kac-4ac

=(a-kc)²+4ac(k-1).     …………………………………………………5分

∵ 方程kx=x+2的根为正实数，

   ∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数.

由 x>0, 2>0, 得 k-1>0.    …………………………………………………6分

∴ 4ac(k-1)>0.

∵ (a-kc)²³0,

∴Δ=(a-kc)²+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.   …………7分

证法二: 若ac>0,

∵ 抛物线y=ax²-bx+kc与x轴有交点,

∴ Δ₁=(-b)²-4akc =b²-4akc³0.

(b²-4ac)-( b²-4akc)=4ac(k-1).

        由证法一知 k-1>0,

∴ b²-4ac> b²-4akc³0.

∴ Δ= b²-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.   …………………7分

综上, 方程②有两个不相等的实数根.

（海淀一模）3、 解: （1）DF= EF.    …………………………………………………1分

  （2）猜想：DF= FE.

证明：过点D作DG⊥AB于G, 则∠DGB=90°.

∵ DA=DB, ∠ADB=60°.

∴ AG=BG, △DBA是等边三角形.

∴ DB=BA.

∵ ∠ACB=90° , ∠ABC=30°,

∴ AC=AB=BG.    …………………………………………………………2分

∴ △DBG≌△BAC.

∴ DG=BC.              ……………………………………………………3分

∵ BE=EC, ∠BEC=60° ,

∴ △EBC是等边三角形.

∴ BC=BE, ∠CBE=60°.

∴ DG= BE, ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .

∵ ∠DFG =∠EFB, ∠DGF =∠EBF,

∴ △DFG≌△EFB.

∴ DF= EF.             ……………………………………………………4分

（3）猜想：DF= FE.

证法一：过点D作DH⊥AB于H, 连接HC, HE, HE交CB于K, 则∠DHB=90°.

∵ DA=DB,

∴ AH=BH, ∠1=∠HDB.

∵ ∠ACB=90°,

∴ HC=HB.

∵ EB=EC, HE=HE,

∴ △HBE≌△HCE.  ……………………………5分

∴ ∠2=∠3, ∠4=∠BEH.

∴ HK⊥BC.

∴ ∠BKE=90°.      ……………………………6分

∵ ∠ADB=∠BEC=2∠ABC,

∴ ∠HDB=∠BEH=∠ABC.

∴ ∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90°，

∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90°.

∴ DB//HE, DH//BE.

∴ 四边形DHEB是平行四边形.

∴ DF=EF.   ………………………………………………………………………7分

证法二：分别过点D、E作DH⊥AB于H, EK⊥BC于K, 连接HK, 则

∠DHB=∠EKB=90°.

∵ ∠ACB=90°,

∴ EK//AC.

∵ DA=DB, EB=EC,

∴ AH=BH, ∠1=∠HDB,

CK=BK, ∠2=∠BEK.

∴ HK//AC.

∴ 点H、K、E在同一条直线上.     …………………5分

下同证法一.

（海淀一模）4、解:（1）依题意, 设所求抛物线的解析式为, 则

    ………………1分

∴ 所求抛物线的解析式为 .   ……………………………………2分

由, 解得x₁=4, x₂= -3.

∴ D(4, 0).   …………………………………………………………………………3分

（2）如图, 过点C作CN⊥x轴于N, 过点E、B分别

作x轴、y轴的垂线，两线交于点M.

∴ ∠M=∠CNE=90°.

设E(a, 0),  EB=EC.

∴ BM²+EM²= CN²+EN².    

∴ .

   解得 a=-1.

∴ E( -1, 0).   ……………………………4分

（3）可求得直线BC的解析式为y=-x+5.

从而直线BC与x轴的交点为H(5, 0).

如图，根据轴对称性可知S_{△E ¢FG}=S_△EFG,

当点E¢在BC上时，点F是BE的中点.

∵ FG//BC,

∴ △EFP∽△EBH.

可证 EP=PH.

∵ E(-1,0), H(5, 0),

∴ P(2, 0).    ……………………………5分

( i ) 如图, 分别过点B、C作BK⊥ED于K,

CJ⊥ED于J ,

则.

当-1< x £2时，

∵ PF//BC,

∴ △EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC.

∴ ,

∵ P(x, 0), E(-1, 0), H(5,0),

∴ EP=x+1, EH=6.

∴ .  …………………6分

( ii ) 如图，当2< x £4时, 在x轴上截取一点Q, 使得PQ=HP, 过点Q作

QM//FG, 分别交EB、EC于M、N.

可证S=S_{四边形MNGF}, △ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC.

∴ ,

∵ P(x, 0), E(-1, 0), H(5,0),

∴ EH=6，PQ=PH=5-x,  EP=x+1,

EQ=6-2(5-x)=2x-4.

∴  ……………7分

同（i）可得 ，

∴ .…………8分

综上，

（东城一模）5、（1）证明：

∴方程有两个不相等的实数根。……３分

（2）

∵方程有两个整数根，必须使且m为整数．

又∵12＜m＜40，

∴　5＜＜9．

∴m=24……７分

（东城一模）6、解：(1)过点B作，垂足为D，

∵

∴

又∵

∴△≌△,   

∴==1，==2；

∴点B的坐标为（-3，1）；     …………… 2分

（2）抛物线经过点B(-3,1)，则得到，

解得，∴抛物线解析式为；  ………………3分

（3）方法一：①若以AC为直角边，点C为直角顶点；

则可以设直线ＢＣ交抛物线于点，

由题意，直线ＢＣ的解析式为：，

解得

∴P₁（1，-1）．………４分

②若以AC为直角边，点A为直角顶点；

则过点Ａ作ＡＦ∥ＢＣ，交抛物线于点，

由题意，直线ＡＦ的解析式为

综上所述，在抛物线上存在点使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形。

方法二：①若以AC为直角边，点C为直角顶点；

则延长至点，使得，得到等腰直角三角形△，过点作,

∵₁=，，；∴△≌△

∴==2, ∴==1,  可求得点P₁（1，-1）；…………………4分

经检验点P₁（1，-1）在抛物线上，使得△是等腰直角三角形；

………………… 5分

②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作,且使得,

得到等腰直角三角形△,过点P₂作，同理可证△≌△；

∴==2, == 1, 可求得点（2，1）；……………… 6分

经检验点（2，1）也在抛物线上，使得△也是等腰直角三角形．

………………7分

（东城一模）7、解：（１）ＡＣ过圆心Ｏ，且m,n分别切⊙O于点A,C

(2)连接OA

∴△AEC∽△PAQ．

①

同理可得：②

①+②，得

（房山一模）8、（1）证明：△＝

                 ＝

                 ＝

                 ＝≥0                ------------1分

        ∴方程必有两个实数根                -------------2分

（2）用求根公式解出，-------3分

∴=

∴          ----------4分

（3）∵方程只有整数根且k是小于0 的整数

∴k＝-1                  ----------5分

∴＝-x²-2x-1

=x-1         ----------------6分

在坐标系中画出两函数的图象，由图象可知：当-3<x<0时， >.---------7分

（房山一模）9、解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝

     ∴－   ∴a＝1，                     ----------------------------1分

     ∵抛物线向右平移一个单位过坐标原点（0，0），∴原抛物线过点（－1，0）

     ∴c＝－2

     ∴抛物线的解析式为              ---------------------------2分

（2）∵OC＝OB＝2，线段BC的垂直平分线为直线y=－x

     ∵抛物线的对称轴为直线x=

      ∴△ABC外接圆⊙D的圆心D（，－）         ----------------------3分

∵∠ABC＝45°，∴∠ADC＝90°

      ∵AC＝ ,

∴AD=，即△ABC外接圆半径为-----4分

（3） ∵S=，=6，

∴S_△ACM=6    ----------5分

过点M作EF∥AC交x轴于E，交y轴于F，

A（－1，0），B（2，0），C（0，－2）

∴直线EF的解析式为：        ------------------------6分

设点M的坐标为(x,)

∵M(x,)在直线EF上

∴=+10_,∴ _，

∴在抛物线上存在点M使得S_△ACM=,且M₁（3，4），M₂（-4，18）.----------7分

（房山一模）10、 解：（1）DF=BF且DF⊥BF.-----------------1分

证明：如图1：

∵∠ABC＝∠ADE=，AB= BC，AD=DE

∴ ∠CDE=，∠AED=∠ACB=45°

∵F为CE的中点

∴ DF=EF=CF=BF，

∴ DF=BF；            ------------------2分

∴ ∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，                 

∴∠EGF＋∠CGF＝2∠DCB=90°，                             图1

即：∠DFB＝，

∴DF⊥BF.                 -------------------3分

(2)仍然成立.

证明：如图2，延长DF交BC于点G，

∵∠ABC＝∠ADE= 

∴ DE∥BC，

∴∠DEF=∠GCF，

又∵ EF=CF，∠DFE=∠GFC

∴ △DEF≌△GCF，∴DE=CG，DF=FG-----------4分

∵AD=DE，AB=BC，∴AD=CG

∴ BD＝BG                  ---------------5分

又∵∠ABC＝                                             图2

∴ EG=CG且EG⊥CG.         ---------------6分               

(3)仍然成立.

证明：如图3，延长BF至点G，使FG＝BF，联结DB、DG，GE

∵EF=CF, ∠EFG=∠CFB

∴ △EFG≌△CFB，

∴ EG=CB，∠EGF＝∠CBF，

∴EG∥CB，

∵AB= BC，AB⊥CB,∴ EG=AB，EG⊥AB，

∵∠ADE=90°，EG⊥AB

∴∠DAB=∠DGE

     ∴ △DAB≌△DEG，

∴ DG=DB, ∠ADB=∠EDG   -----------------7分

∴∠BDG=∠ADE=90°                                        图3

∴△BGD为等腰直角三角形，

∴ DF=BF且DF⊥BF.        ----------------8分

（门头沟一模）11、（1）证明：令．

         得△==

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2009年浙江省宁海县知恩中学高三最后适应性考试

理科综合    2009.04

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分300分。考试时间150分钟。

第I卷（选择题，共21题，共126分）

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2009届晋州一中高三理综最后模拟（物理部分）                                                   

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广东省华南师大附中2007―2008学年度高三综合测试（四）

数学试题（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在别发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

参考公式：

球的表面积公式  ， 其中R表示球的半径

球的体积公式    ，其中R表示球的半径

第一部分（选择题，共40分）

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山东省淄博市2008―2009学年度高三检测题

语文试题

本试卷分第1卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分。考试用时150分钟。

注意事项：

    1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题卡

和试题卷规定的位置上。

    2．第1卷每小题选出答案后。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需

改动。用橡皮擦干净后。再选涂其他答案标号。答案不能答在试题卷上。  ，

    3．第Ⅱ卷必须用O．5毫米黑色签字笔作答。答案必须写在答题卡各题目的指定区域

内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用涂改液、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

    4．第Ⅱ卷第六题为选做题。考生须从所给（一）（二）两题中任选一题作答，不能全选。

第1卷（选择题共36分）

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