广东省华南师大附中2007―2008学年度高三综合测试（四）
数学试题（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在别发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
球的表面积公式
， 其中R表示球的半径
球的体积公式 
，其中R表示球的半径
第一部分（选择题，共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题：“若
”的逆否命题是 （ ）
A．若
B．若
C．若
D．若
2．已知
的虚部为 （ ）
A．1 B．
3．若a与b+c都是非零向量，则“a+b+c=
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分与不必要条件
4．与函数
的图象相同的函数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知直线
，若直线l2经过点（0，5），且
的方程为 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
（a为常数）在[－2，2]上有最大值3，那么在[－2，2]上
的最小值是
（ ）
A．－5 B．－
7．为使方程
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值为 （ ）
A．
B．
C．2 D．
第二部分 （非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9．若直线
的倾斜角为120°，则a的值是
。
10．在一个水平放置的底面半径为
的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R，则R= 。
11．在等比数列
；数列
的前2n项和
=
。
12．已知
的最小值为
。
13．在坐标平面内，由不等式组
所确定的区域的面积为
=
。
14．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，AH为BC边上的高，以下结论：
①
②
③
④
其中正确的是 。（写出所有你认为正确的结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应定出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分12分）
已知数列
（1）求数列的通项公式；
（2）求证数列
是等比数列；
（3）求使得
的集合。
16．（本小题满分12分）
已知A、B、C三点的坐标分别为
、
、
（1）若
的值；
（2）若
17．（本小题满分14分）
一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系，其他与速度无关的费用每小时96元，已知在速度为每小时10公里时，每小时的燃料费是6元，要使行驶1公里所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里？
18．（本小题满分14分）
已知与曲线
、y轴于
、
为原点。
（1）求证：
；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值。
19．（本小题满分14分）
|
的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：
的图像上的任意一点的切线的斜率为k，
成立的充要条件。
10．
11．40；
12．7 13．3 14．①②③④
，
为首项为2，公比为4的等比数列
，
小时。
，
元，
时等号成立。
，半径为1依题设直线
，
即为所求的轨迹方程。
，由
、
，
时，
