09年北京中考数学一模压轴题精选

【海淀一模】1、我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对

顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个

四边形的一对等高点.例如：如图1,平行四边形ABCD

中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是

平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D

也是平行四边形ABCD的一对等高点.                            图1

（1）如图2，已知平行四边形ABCD, 请你在图2中画出一个只有一对等高点的四

边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；

（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别

探究图3、图4中S₁, S₂, S₃, S₄四者之间的等量关系(S₁, S₂, S₃, S₄分别表示△ABP,

△CBP, △CDP, △ADP的面积)：

① 如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是     ________；

② 如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是          ____________.

        图2                      图3                       图4

【海淀一模】2、已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax²-bx+kc

（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

   （1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

   （2）求代数式的值；

（3）求证: 关于x的一元二次方程ax²-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

【海淀一模】3、在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.

原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90° , ∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB,  EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.

小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问

题得解.

小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.

小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；

（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在

（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中

得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.

【海淀一模】4、已知抛物线经过点 A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2)，与x轴正半轴交于点D.

   （1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；

   （2）在x轴上求一点E, 使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；

   （3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC, 与BE、CE分别交于

点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E¢FG. 设P（x, 0）, △E¢FG与四边形FGCB

重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.

【东城一模】5、已知：关于的一元二次方程

（1）若求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求的值．

（东城）24. （本题满分7分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示，抛物线经过点B．

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【东城一模】6、请阅读下列材料：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如右图1,若弦AB、CD交于点P则PA?PB=PC?PD．请你根据以上材料，解决下列问题.

已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R.（如图2）

(1)若AC恰经过圆心O,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；

(2)若OP⊥AC, 请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；

(3)若AC是过点P的任一弦（图2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想：的值，并给出证明．

【房山一模】7、已知关于x的一元二次方程kx²＋（3k＋1）x＋2k＋1＝0.

（1）求证：该方程必有两个实数根；

（2）设方程的两个实数根分别是，若y₁是关于x的函数，且，其中m=,求这个函数的解析式；

（3）设y₂＝kx²＋（3k＋1）x＋2k＋1，若该一元二次方程只有整数根，且k是小于0 的整数.结合函数的图象回答：当自变量x满足什么条件时，y₂>y₁?

【房山一模】8、已知：二次函数y=ax²-x+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求△ABC的外接圆圆心D的坐标及⊙D的半径；

（3）设⊙D的面积为S,在抛物线上是否存在点M，使得S_△ACM=，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【房山一模】9、已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形, ∠ABC＝∠ADE=， AB= BC，AD=DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，联结DF、BF.

（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；

（2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转，再联结CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；

（3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在到之间），再联结CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论

图1                   图2                   图3

【门头沟一模】10、已知以x为自变量的二次函数y=x²＋2mx＋m－7．

（1）求证：不论m为任何实数，二次函数的图象与x轴都有两个交点；

（2）若二次函数的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，关于x的一元二次方程m²x²＋(2m＋3)x＋1=0有两个实数根，且m为整数，求m的值；

（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程 x²＋2(a＋m)x＋2a－m²＋6 m－4=0 有大于0且小于5的实数根，求a的整数值．

【门头沟一模】11、在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y＝－x²＋bx＋c与x轴交于A、B 两点（点A在

点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为（1，0）， 点C的坐标

为（0，3）．

（1）求抛物线及直线AC的解析式；

（2）E、F是线段AC上的两点，且∠AEO＝∠ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N．当MF=DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？ 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角∠QCO与∠BCO           的大小（直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点 Q的横坐标x的取值范围）．

 【门头沟一模】12、如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,点E在AB上， F是线段BD的中点，连结CE、FE.

（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；

（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

     （3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

【延庆一模】13、（本题满分4分） 如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为．

（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”纸按如下步骤折叠：

第一步：将矩形的短边与长边对齐  折叠，       点落在上的点处，铺平后 得折痕；

第二步：将长边与折痕对齐折叠，点正好与点重合，铺平后得折痕．则的值是        .

（2）求“2开”纸长与宽的比__________.

（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“”型图案，它的四个顶点分别在“16开”纸的边上，求的长．

【延庆一模】14、 阅读理解：对于任意正实数，，，

，只有当时，等号成立．

结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，

只有当时，有最小值．

根据上述内容，回答下列问题：

（1） 若，只有当         时，有最小值          ．

（2） 探索应用：已知，，点P为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，．

求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．

【延庆一模】15、如图24－1，正方形ABCD和正方形QMNP， M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

（1）猜想：ME 与MF的数量关系

（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明．

（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由．

（4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ，

AB:BC = m，其它条件不变，求出ME：MF的值。（直接写出答案）

【延庆一模】16、 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为x=2,且经过B（0，4），C（5，9），直线BC与x轴交于点A.

（1）求出直线BC及抛物线的解析式.

_{（2）D（1，y）在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M、N，且MN=2 ，点M在点N的上方，使得四边形BDNM的周长最小，若存在，求出M 、N两点的坐标，若不存在，请说明理由.}

（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线BC距离为的点P．

09年北京中考压轴题精选答案

（海淀一模）1．解：            

（1）比如：                    或                         ………………1分

（2）①S₁ +S₄ = S₂ +S₃, S₁ +S₃ = S₂ +S₄或S₁×S₃ = S₂×S₄或等.   ……………2分

②S₁×S₃ = S₂×S₄或等.      ……………………………………………4分

（海淀一模）2、（1）解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.

依题意 k-1≠0.

∴ .       ……………………………………………………………1分

∵ 方程的根为正整数，k为整数,

∴ k-1=1或k-1=2.

∴ k₁= 2, k₂=3.      ……………………………………………………………2分

   （2）解：依题意，二次函数y=ax²-bx+kc的图象经过点（1，0），

       ∴ 0 =a-b+kc,  kc = b-a .

∴

                 =              …………………………3分

（3）证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)²-4ac= b²-4ac.

     由a≠0, c≠0, 得ac≠0.

( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b²-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数

根.      ………………………………………………………………4分

( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.

Δ=b²-4ac= (a+kc)²-4ac=a²+2kac+(kc)²-4ac = a²-2kac+(kc)²+4kac-4ac

=(a-kc)²+4ac(k-1).     …………………………………………………5分

∵ 方程kx=x+2的根为正实数，

   ∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数.

由 x>0, 2>0, 得 k-1>0.    …………………………………………………6分

∴ 4ac(k-1)>0.

∵ (a-kc)²³0,

∴Δ=(a-kc)²+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.   …………7分

证法二: 若ac>0,

∵ 抛物线y=ax²-bx+kc与x轴有交点,

∴ Δ₁=(-b)²-4akc =b²-4akc³0.

(b²-4ac)-( b²-4akc)=4ac(k-1).

        由证法一知 k-1>0,

∴ b²-4ac> b²-4akc³0.

∴ Δ= b²-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.   …………………7分

综上, 方程②有两个不相等的实数根.

（海淀一模）3、 解: （1）DF= EF.    …………………………………………………1分

  （2）猜想：DF= FE.

证明：过点D作DG⊥AB于G, 则∠DGB=90°.

∵ DA=DB, ∠ADB=60°.

∴ AG=BG, △DBA是等边三角形.

∴ DB=BA.

∵ ∠ACB=90° , ∠ABC=30°,

∴ AC=AB=BG.    …………………………………………………………2分

∴ △DBG≌△BAC.

∴ DG=BC.              ……………………………………………………3分

∵ BE=EC, ∠BEC=60° ,

∴ △EBC是等边三角形.

∴ BC=BE, ∠CBE=60°.

∴ DG= BE, ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .

∵ ∠DFG =∠EFB, ∠DGF =∠EBF,

∴ △DFG≌△EFB.

∴ DF= EF.             ……………………………………………………4分

（3）猜想：DF= FE.

证法一：过点D作DH⊥AB于H, 连接HC, HE, HE交CB于K, 则∠DHB=90°.

∵ DA=DB,

∴ AH=BH, ∠1=∠HDB.

∵ ∠ACB=90°,

∴ HC=HB.

∵ EB=EC, HE=HE,

∴ △HBE≌△HCE.  ……………………………5分

∴ ∠2=∠3, ∠4=∠BEH.

∴ HK⊥BC.

∴ ∠BKE=90°.      ……………………………6分

∵ ∠ADB=∠BEC=2∠ABC,

∴ ∠HDB=∠BEH=∠ABC.

∴ ∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90°，

∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90°.

∴ DB//HE, DH//BE.

∴ 四边形DHEB是平行四边形.

∴ DF=EF.   ………………………………………………………………………7分

证法二：分别过点D、E作DH⊥AB于H, EK⊥BC于K, 连接HK, 则

∠DHB=∠EKB=90°.

∵ ∠ACB=90°,

∴ EK//AC.

∵ DA=DB, EB=EC,

∴ AH=BH, ∠1=∠HDB,

CK=BK, ∠2=∠BEK.

∴ HK//AC.

∴ 点H、K、E在同一条直线上.     …………………5分

下同证法一.

（海淀一模）4、解:（1）依题意, 设所求抛物线的解析式为, 则

    ………………1分

∴ 所求抛物线的解析式为 .   ……………………………………2分

由, 解得x₁=4, x₂= -3.

∴ D(4, 0).   …………………………………………………………………………3分

（2）如图, 过点C作CN⊥x轴于N, 过点E、B分别

作x轴、y轴的垂线，两线交于点M.

∴ ∠M=∠CNE=90°.

设E(a, 0),  EB=EC.

∴ BM²+EM²= CN²+EN².    

∴ .

   解得 a=-1.

∴ E( -1, 0).   ……………………………4分

（3）可求得直线BC的解析式为y=-x+5.

从而直线BC与x轴的交点为H(5, 0).

如图，根据轴对称性可知S_{△E ¢FG}=S_△EFG,

当点E¢在BC上时，点F是BE的中点.

∵ FG//BC,

∴ △EFP∽△EBH.

可证 EP=PH.

∵ E(-1,0), H(5, 0),

∴ P(2, 0).    ……………………………5分

( i ) 如图, 分别过点B、C作BK⊥ED于K,

CJ⊥ED于J ,

则.

当-1< x £2时，

∵ PF//BC,

∴ △EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC.

∴ ,

∵ P(x, 0), E(-1, 0), H(5,0),

∴ EP=x+1, EH=6.

∴ .  …………………6分

( ii ) 如图，当2< x £4时, 在x轴上截取一点Q, 使得PQ=HP, 过点Q作

QM//FG, 分别交EB、EC于M、N.

可证S=S_{四边形MNGF}, △ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC.

∴ ,

∵ P(x, 0), E(-1, 0), H(5,0),

∴ EH=6，PQ=PH=5-x,  EP=x+1,

EQ=6-2(5-x)=2x-4.

∴  ……………7分

同（i）可得 ，

∴ .…………8分

综上，

（东城一模）5、（1）证明：

∴方程有两个不相等的实数根。……３分

（2）

∵方程有两个整数根，必须使且m为整数．

又∵12＜m＜40，

∴　5＜＜9．

∴m=24……７分

（东城一模）6、解：(1)过点B作，垂足为D，

∵

∴

又∵

∴△≌△,   

∴==1，==2；

∴点B的坐标为（-3，1）；     …………… 2分

（2）抛物线经过点B(-3,1)，则得到，

解得，∴抛物线解析式为；  ………………3分

（3）方法一：①若以AC为直角边，点C为直角顶点；

则可以设直线ＢＣ交抛物线于点，

由题意，直线ＢＣ的解析式为：，

解得

∴P₁（1，-1）．………４分

②若以AC为直角边，点A为直角顶点；

则过点Ａ作ＡＦ∥ＢＣ，交抛物线于点，

由题意，直线ＡＦ的解析式为

综上所述，在抛物线上存在点使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形。

方法二：①若以AC为直角边，点C为直角顶点；

则延长至点，使得，得到等腰直角三角形△，过点作,

∵₁=，，；∴△≌△

∴==2, ∴==1,  可求得点P₁（1，-1）；…………………4分

经检验点P₁（1，-1）在抛物线上，使得△是等腰直角三角形；

………………… 5分

②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作,且使得,

得到等腰直角三角形△,过点P₂作，同理可证△≌△；

∴==2, == 1, 可求得点（2，1）；……………… 6分

经检验点（2，1）也在抛物线上，使得△也是等腰直角三角形．

………………7分

（东城一模）7、解：（１）ＡＣ过圆心Ｏ，且m,n分别切⊙O于点A,C

(2)连接OA

∴△AEC∽△PAQ．

①

同理可得：②

①+②，得

（房山一模）8、（1）证明：△＝

                 ＝

                 ＝

                 ＝≥0                ------------1分

        ∴方程必有两个实数根                -------------2分

（2）用求根公式解出，-------3分

∴=

∴          ----------4分

（3）∵方程只有整数根且k是小于0 的整数

∴k＝-1                  ----------5分

∴＝-x²-2x-1

=x-1         ----------------6分

在坐标系中画出两函数的图象，由图象可知：当-3<x<0时， >.---------7分

（房山一模）9、解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝

     ∴－   ∴a＝1，                     ----------------------------1分

     ∵抛物线向右平移一个单位过坐标原点（0，0），∴原抛物线过点（－1，0）

     ∴c＝－2

     ∴抛物线的解析式为              ---------------------------2分

（2）∵OC＝OB＝2，线段BC的垂直平分线为直线y=－x

     ∵抛物线的对称轴为直线x=

      ∴△ABC外接圆⊙D的圆心D（，－）         ----------------------3分

∵∠ABC＝45°，∴∠ADC＝90°

      ∵AC＝ ,

∴AD=，即△ABC外接圆半径为-----4分

（3） ∵S=，=6，

∴S_△ACM=6    ----------5分

过点M作EF∥AC交x轴于E，交y轴于F，

A（－1，0），B（2，0），C（0，－2）

∴直线EF的解析式为：        ------------------------6分

设点M的坐标为(x,)

∵M(x,)在直线EF上

∴=+10_,∴ _，

∴在抛物线上存在点M使得S_△ACM=,且M₁（3，4），M₂（-4，18）.----------7分

（房山一模）10、 解：（1）DF=BF且DF⊥BF.-----------------1分

证明：如图1：

∵∠ABC＝∠ADE=，AB= BC，AD=DE

∴ ∠CDE=，∠AED=∠ACB=45°

∵F为CE的中点

∴ DF=EF=CF=BF，

∴ DF=BF；            ------------------2分

∴ ∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，                 

∴∠EGF＋∠CGF＝2∠DCB=90°，                             图1

即：∠DFB＝，

∴DF⊥BF.                 -------------------3分

(2)仍然成立.

证明：如图2，延长DF交BC于点G，

∵∠ABC＝∠ADE= 

∴ DE∥BC，

∴∠DEF=∠GCF，

又∵ EF=CF，∠DFE=∠GFC

∴ △DEF≌△GCF，∴DE=CG，DF=FG-----------4分

∵AD=DE，AB=BC，∴AD=CG

∴ BD＝BG                  ---------------5分

又∵∠ABC＝                                             图2

∴ EG=CG且EG⊥CG.         ---------------6分               

(3)仍然成立.

证明：如图3，延长BF至点G，使FG＝BF，联结DB、DG，GE

∵EF=CF, ∠EFG=∠CFB

∴ △EFG≌△CFB，

∴ EG=CB，∠EGF＝∠CBF，

∴EG∥CB，

∵AB= BC，AB⊥CB,∴ EG=AB，EG⊥AB，

∵∠ADE=90°，EG⊥AB

∴∠DAB=∠DGE

     ∴ △DAB≌△DEG，

∴ DG=DB, ∠ADB=∠EDG   -----------------7分

∴∠BDG=∠ADE=90°                                        图3

∴△BGD为等腰直角三角形，

∴ DF=BF且DF⊥BF.        ----------------8分

（门头沟一模）11、（1）证明：令．

         得△==