对一道数学题的展开
赖友志
在数学复习教学中，选好一道例题。通过一题多思，一题多解，一题多讲。可以巩固学生知识，训练学生思维，开拓学生视野。
例题：已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋且
，求ｘ＋ｙ的最小值。
法一：均值不等式法
此题答案有误。因为⑴，⑵式的等号不能同时成立，所以⑶式等号不能取。但事实上推导过程无误，只不过扩大了ｘ＋ｙ的范围。此种推导在选择题时，其选择项若是6，8，12，16，当可排除6，8，12得16。
此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。
法2，1的妙用
法3，构造x+y不等式法
变式：已知x+xy+4y=5 （x,y∈R＋）求xy取值范围
法4，换元后构造均值不等式法
法5，用判别式法
注意实根分布情况讨论。
类似地，如2x+y=6,求
的范围也可用判别式法。
法6，三角代换法
变：0<x<1,a>0,b>0，则
的最小值
法7，导数法
以上所涉及到的方法都是学生应掌握的。通过一道例题讲解即可复习多种方法。
2005年1月
“能听懂课，不会解题”的原因调查与分析
按：为了搞好高中数学教学，利用课余时间与职业高中同仁在两校学生中作了抽样调查，对学生反应的问题作了系统的分析，并在此基础上提出自己的一些见解，省教研室评为二等奖。
内容摘要：本文在对中学生数学学习中普遍存在 “能听懂课，不会解题” 原因的调查分析的基础上，提出了改进教学方法、指导学生学习、学生如何学习的具体对策。
主 题 词：听课 解题 调查 分析
在数学教学中培养学生的创造性思维
在数学教学中培养学生的创造性思维是时代的要求。要培养学生的创造性思维，就应该有与之相适应的，能促进创造性思维培养的教学方式。当前，数学创新教学方式主要有以下几种形式：
1 、开放式教学。
这种教学在通常情况下，由教师通过开放题的引进，在学生参与下解决，
使学生在问题解决的过程中体验数学的本质，品尝进行创造性数学活动的乐趣。开放式教学中的开放题一般有以下几个特点。一是结果开放，一个问题可以有不同的结果；二是方法开放，学生可以用不同的方法解决这个问题；三是思路开放，强调学生解决问题时的不同思路。
2 、活动式教学。
这种教学模式主要是让学生进行适合自己的数学活动，包括模型制作、
游戏、行动、调查研究等，使学生在活动中认识数学、理解数学、热爱数学。
3 、探索式教学。
采用“发现式”，引导学生主动参与，探索知识的形成、规律的发现、
问题的解决等过程。
要培养学生的创造思维能力，应当在数学教学中充分有效地结合上述三种形式（但不限于这三种形式），通过逐步培养学生的以下各种能力来实现教学目标：
一 、培养学生的观察力。敏锐的观察力是创造思维的起步器。那么，在课堂中，怎样培养学生的观察力呢？第一，在观察之前，要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求。第二，要在观察中及时指导。比如要指导学生根据观察的对象有顺序地进行观察，要指导学生选择适当的观察方法，要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等。第三，要科学地运用直观教具及现代教学技术，以支持学生对研究的问题做仔细、深入地观察。第四，要努力培养学生浓厚的观察兴趣。
1993年全国高考数学科命题组就指出：“要考查一些开放问题”，国家教委将“数学开放题”列为九五重点科研项目．相对于传统的封闭题严密完整，开放题在构成问题的要素――条件、策略、结论中有一些是不明确的（分别称为条件开放题、策略开放题、结论开放题）．当前数学开放题之所以引起我们中学数学教师的关注，我以为一是以实践能力、创新意识的培养为核心的素质教育的深入的需要．数学开放题对培养学生思维的发散性（结论开放）、聚敛性(条件开放)、创造性（策略开放），不失为好载体．二是高考命题的导向作用，数学开放题走进高考试卷的需要．三是数学走向应用的需要．我们的数学教育不仅要让学生学会继续深造所必需的数学基本知识，基本方法，基本技能，更重要的是让学生学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决现实生活中的问题．
为了满足上述三方面的需要，必需将开放题引进课堂教学．本文谈对数学开放题教学的一些认识，不当之处，谨请多多指教．
１、砸破篱笆，让学生展开想象的翅膀
青少年时代是一生中最富有活力、充满想象的时代．开放题往往形式活泼，供学生思考的角度众多，思维活动的空间宽阔，正好给青少年学生提供了一个展翅的舞台．而封闭题往往形式单一，要求学生在特定的范围内进行定向思维．长期作这类机械式的思维训练，学生的思维中将立起一道道难以逾越的篱笆．这样的教学活动，不仅没有促进学生进一步开放自己，反而束缚了他们的思想．通过开放式教学，可以让学生砸破这些禁锢思想的篱笆，展开想象的翅膀，自由地发挥自身才华．
根据我校搬迁前曾有一块操场需要改造这一实际，我们编拟：
开放题１ 我校准备在长
①每道跑道宽
本题有学生认为不能造出满足要求的操场，他认为操场应由两个半圆和一个矩形构成（如图１），经计算，跑道内圈无论如何达不到
开放题2 用一块长
)．
本题主要考察学生如何画出椭圆，培养学生的动手能力．可以用硬纸板代替玻璃，让学生亲手画一画，动手截一下．学生至少可从以下几个角度去思考:①建立坐标系，写出方程描点；②确定焦点，长轴长，由第一定义得到；③用解析几何课本P116椭圆参数方程的定义；④用椭圆规工作原理(P124)．
2、传授定式，帮学生克服畏惧的心理
开放题引入课堂教学之初，学生的表现往往士为一是觉得好奇，感到有趣；二是感到畏惧，不知从何处入手．这就要求我们教师介绍一些典型开放题的求解思路，帮学生建立科学的思维定式．
⑴寻找充分条件型开放题．
开放题3 在直四棱柱
中（如图５），当底面四边形ABCD满足条件 时，有
（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形1998高考卷第18题）．
这类题型，只需找到能使结论成立的一个充分条件即可，而不必去寻找结论成立的充要条件．这类问题的要求并不高，可考虑特殊值或极端情形，从而找出充分条件．这一点，学生一开始往往不习惯．
⑵“是否存在”型开放题．
开放题4
设{
}是由正数组成的等比数列,
是其前n项和.是否存在常数Ｃ>0,使得
成立？并证明你的结论（1995高考卷第25题）．
这类开放题的答案，不是肯定就是否定，开放度较小．若“存在”，就是具有适合条件的某种数学对象，无论用什么方法，只要找出一个就说明存在．若“不存在”，一般需要有严格的推理论证．故这类“是否存在”型开放题的解决思路一般为，先假设存在满足条件的数学对象，如果找出矛盾，说明假设不成立，进而否定假设，如果经过严格推理，没有找到矛盾，说明确实存在，找出满足条件的一个对象即可．
⑶猜想型开放题．
开放题5 已知数列{bn}是等差数列,b1＋b2＋……＋bｎ＝145， b1=1．①求数列{bn}的通项bn；②设数列{an}的通项an= 
其中a＞0且a≠1），sn是数列{an}的前n项和，试比较sn与
的大小(1998高考理科第25题)．
解答这类开放题，要求学生学会猜想．牛顿早就说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现．”美国数学教育家彼利亚在1953年也大声疾呼：“让我们教猜测吧！”可我们在日常教学中，往往过分强调数学学科的严谨性和科学性，忽视实验猜想等合情推理能力的培养，让学生觉得数学枯燥、无趣、难学．
我们应该教会学生如何猜想．教学生通过实验、观察，进行猜想，教学生通过对特例（特殊值）的分析、归纳, 猜想一般的规律（共性），教学生通过比较、概括得到猜想，教学生对具体问题的特殊解从宏观上作出估算．先有猜想，再作严密的数学证明．这样“既教猜想，又教证明”，让学生体会到数学也是生动活泼，充满激情，并富有哲理的一门学科．不至于学生说“过了几十年，还做学习数学的恶梦”（徐利治语，见文５）．
３、开展实验，用计算机辅助开放式教学
利用计算机强大的计算功能和作图功能辅助开放式教学，有利于改善课堂气氛，激发学生的学习兴趣；有利于“观察（实验）、猜想、证明（否定）”这一思想方法的运用，快捷方便地验证学生自己作出的猜想，从而充分利用课堂活动的时间．
开放题6 （荒岛寻宝）从前，有个年轻人在曾祖父的遗物中发现一张破羊皮纸，上面指明了一项宝藏，内容是这样的：
“在北纬＊＊，西经＊＊，有一座荒岛，岛的北岸有一片草地，草地上有一棵橡树，一棵松树和一座绞架．从绞架走到橡树，并记住所走的步数，到了橡树向左拐一个直角，再走相同的步数并在那里打个桩．然后回到绞架再朝松树走去，同时记住所走的步数，到了松树向右拐一个直角，再走相同的步数并在那里也打个桩，在两桩连线的正中挖掘，就可获得宝藏．”
年轻人欣喜万分，租船来到海岛上，找到了那片草地，也找到了橡树和松树，但绞架却不见了．长期的日晒雨淋，一切痕迹也不复存在．年轻人无从下手，只好空手而返．同学们，你能用数学方法帮助这位年轻人吗？
本题，学生往往不知从何处入手．如果我们利用数学教学软件几何画板制作图６（设Ａ，Ｂ两点为橡树和松树所在地，假设Ｃ为绞架所在地．依题意找到打桩处Ｄ，Ｅ）．不妨先让我们做一个小实验．拖动点C，我们将会发现，无论C在何处，DE中点H是不动的．我们问：这说明什么？宝藏是否就在中点Ｈ处？
这样，学生将会积极地思索，不难从解析几何，复数、向量、平面几何角度寻求具体的解决方法．
学习“过抛物线
的顶点Ｏ作二条互相垂直的弦OA,OB( ∠AOB = 9０°)则弦AB 恒过定点(2P ，O ) ”之后,引导学生探讨：
开放题
7 过抛物线 上任一点C(
，
) 作二条互相垂直的弦CA 、CB(∠ACB = 9０°) 则弦AB有什么特性? 利用几何画板设计如图 ；
探讨过程为 ：
1 、双击移动按纽 “ 移 动C→O ” 显示直角顶点在原点时，弦AB 恒过定点(2P ，0) .
2、直角顶点移回C 处，对AB作轨迹跟踪，发现弦AB过一定点.
3、作出该定点D并显示该点坐标.
4、寻找关系：⑴ 显示C及点C关于X轴对称点E的坐标，我们发现点D与点E的纵坐标相同.⑵ 作出线段ED并显示长度，发现 ED = 2P.
5 、改变点C 的位置，或拖拉焦点F,变化P 的长度再作上述观察.确认我们的结论正确,从而猜想弦AB恒过定点D(
，
) .
6 、用代数方法证明以上猜想.
参考资料
1、戴再平：数学习题理论，上海教育出版社．1991.4
2、张奠宙：数学教育的全球化，开放化、信息化、数学教育．1998.5
3、王珂：从高考的新题型―开放题引起的思考，数学通报． 1999.12
４、陈锡龙:设计开放性的数学教学初探,中学数学教学参考．1999.10
５、“现代数学及其对中小学数学课程的影响”数学家座谈会纪要 数学通报． 1999,11.
例 谈 情 境 教 育
内容提要：情境教育是素质教育的一种教育模式，它服务于素质教育，是实施素质教育的一条有效途径。创设良好的教学情境，能使数学教学达到意想不到的效果。本文从两个定理的教学情境的创设，以及达到的教学效果出发，论述情境教育在素质教育中的重要意义。
关键词：情境教育；情境教学；素质教育
一 情境教育
情境教育是由情境教学发展而来的。近半个世纪来，中国的教育受凯烙夫教育思想的影响极深，注重认知，忽略情感，学校成为单一传授知识的场所。这就导致了教育的狭隘性、封闭性，影响了人才素质的全面提高，尤其是影响了情感意志及创造性的培养和发展。情境教学则针对我国传统的注入式教学造成的中学数学教学的弊端而提出的，这些弊端是：呆板、繁琐、片面、低效，以及压抑学生兴趣、特长、态度、志向等素质发展。情境教学开辟了一条促进学生主动发展，人格素质全面发展的有效途径。
情境教育反映在数学教学中，就是要求教师注重数学的文化价值，创设有利于当今素质教育的问题情境。在数学课中加入数学史的讲授会使学生兴趣盎然。任何一个静止的事物，如果和它的历史联系起来，就会对它有浓厚的兴趣。教师讲授一条定理，如果不仅仅给出推导和证明，还指出它的思考路线，以及学者研究和发现定理的经过，课堂气氛会立刻活跃起来。教师也可以适当介绍和本定理有关的典故和趣事。学生开阔了眼界，知道一个定理的发现过程竟如此曲折，印象会非常深刻。讲述定理的来龙去脉，可以开拓学生的思维，使他们从多方面去思考问题。教师可以给予一定的物质条件，让学生自己动手实践，自主探索与合作交流。
二 两个定理的教学
在初二几何的勾股定理的教学中，如果教师讲授新课时，照本宣科地将知识程式化地交给学生，学生即使知其然，却不知其所以然。失去了对知识、技能、方法的领悟过程。不如先给学生讲“勾股定理”的历史及其一些著名的证明方法，把学生带入勾股定理的教学情境。
教师可介绍：《九章算术》记载：今有勾三尺，股四尺，问为弦几何。答曰：五尺[1]。
我国古代称直角三角形的短直角边为勾，长直角边为股，斜边为弦[2]。又如《周髀算经》称：“勾广三，股修四，径隅五。”课本表述为：勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理，国外称为：毕达哥拉斯定理。勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索它的证明方法。同学们能否猜出有几种证法？怎么证？
这个问题一提出，就让学生倍感新鲜、有趣。当教师告诉学生它的证明方法有500来种，更让他们吃惊。接着教师可以向学生介绍历史上几种著名的证法。如果学校教学条件允许的话，教师可发挥信息技术的优势，利用现代教育媒体，配合教学课件，为学生展现证明的过程，使学生印象更深刻。
（课件演示）
（一） 刘徽以割补术论证这一定理（图1）
（二）
2ab+(b-a)2=c2 化简为 a2+b2=c2
（三） 利用相似三角形的性质的证法 （图3）
直角三角形ABC，AD为斜边BC上的高。
利用相似三角形的性质可得：
AB∶BC=BD∶AB 即 AB2=BD×BC
AC∶BC=DC∶AC AC2=DC×BC
两式相加得：AB2+AC2=BD×BC+DC×BC=（BD+DC）BC=BC2
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
在复习平行线等分线段定理的推论2后，结合图形（图5）分清定理的条件是AD=BD，DE∥BC。结论是AE=CE。
提出问题后，学生可能证明结论有些困难，这时可稍作引导，提醒学生：“我们现有几种判定平行的方法？”学生容易联想到同位角相等，内错角相等，同旁内角互补等方法，可提醒学生还有：平行四边形来判定对边平行。并注意条件是AD=BD，AE=CE。这时同学们经思考有些已找到思路。通常能找到两种证明方法。
，
（方法一） （方法二） （方法三）
错解 如图, 对于平面
，直线AB是垂线，垂足B是点A的射影；直线AC是斜线，C是斜足，直线BC是斜线AC的射影．
平面ABC，
是两个不重合的平面，
，平面
①连BD，由题设
=
，
=
，
=
=
F
平面BCD，且E1∈E1P，
BD=P(∵在△ABD中，
则A1E=D1E=
a．又 A1D1=a，
=
=
a, OE=
AB=
D1OE中, tan∠D1EO=
=
,
例5 已知，AB是半径为R的⊙O的直径，
=
=
,
=
R2
=
.