“直线与平面”错解点击

四川省乐至县吴仲良中学   毛仕理   641500  (0832)3358610

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      在“直线与平面”内容中，为了研究直线与直线之间，直线与平面之间，平面与平面之间的各种关系，引进了一些基本概念和数学方法，例如“异面直线”，“直线与平面所成的角”、“二面角”等概念，反证法、同一法等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易出错．

     下面通过几例，对产生错误的解法进行分析，研究纠正错误的方法，从中吸取有益的教训，以加深对知识的理解，提高解题能力．

     例1  证明；斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上．

     错解  如图,   对于平面，直线AB是垂线，垂足B是点A的射影；直线AC是斜线，C是斜足，直线BC是斜线AC的射影．

     在AC上任取一点P，过P作PO⊥交BC于O，

     ∴点P在平面上的射影在BC上．

     点击   这样的证明似乎有点道理，事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上，但仔细分析，这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足，过点P作PO⊥交BC于O，恰恰是本题要证明的．是一种易犯的逻辑错误，许多同学在解题中往往错而不觉，对此应引起警觉．

     正解   AC是平面的斜线，点C是斜足，AB⊥，点B是垂足．

     则BC是AC在平面上的射影．

     在AC上任取一点P，过点P作PO⊥,垂足为O．

      ∴AB⊥，  ∴PO ∥AB，

      ∵点P在A、B、C三点确定的平面上，因此，PO平面ABC，

      ∴ O∈BC．

     例2  已知、是两个不重合的平面，

     ①若平面⊥平面，平面⊥平面，则平面∥平面；

     ②若平面内不共线的三个点到平面的距离相等，则平面∥平面；

     ③a、b是平面内的两条直线，且a∥，b∥，则平面∥平面；

     以上正确命题的个数为(    )．

     (A)O个          (B)1个          (C)2个        (D)3个

     错解  三个命题都正确，选(D)．

     点击   产生错误的原因是对问题不能全面的分析，缺乏把握空间元素位置关系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般统盖“特殊”．如判断①、②是真命题，只是考虑了图1与图2的情况，而忽略了图3与图4的情况．

(1)             (2)                 (3)             (4)

     而判断③是真命题，则是对平面与平面平行的判定定理：“如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行”没有真正理解，用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两条相交直线”．

     正解    因为三个命题都不正确，所以选(A)．

     例3  如图   E₁、E₂、F₁、F₂、G₁、G₂、H₁、H₂分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的三等分点，求证：E₁H₁，与F₁G₂是异面直线．

    错证1  (直接法)            

    ①连BD，由题设=，=，

     ∴ E₁H₁与BD不平行，设其交点为P，

则P∈BD．

     ∵ ==,      则  F₁G₂∥BD，∴  PF₁G₂．

     ②又E₁P平面BCD，且E₁∈E₁P，

      ∴ E₁平面BCD．

    故平面BCD内一点P与平面BCD外一点E₁的连线E₁P(即E₁H₁)与平面BCD内不过P点的直线F₁G₁是异面直线．

      错证2   (反证法)

      设E₁H₁与F₁G₂不是异面直线，则E₁H与F₁G相交或E₁H₁∥F₁G₂．

      ①设E₁H₁ ∩F₁G₂=P，

       ∵E₁H 平面ABD，F₁G 平面CBD，

      则E₁H₁与F₁G₂的公共点P应在平面ABD与平面CBD的交线BD上，

      则F₁G₂∩ BD=P，这与F₁G₂∥BD    (∵△CBD中，==)矛盾，

      ∴ E₁H₁与F₁G₂不相交．

      ②设E₁H₁∥F₁G₂，

       ∵ F₁G₂∥BD，由公理4知

      E₁H₁∥BD，这与E₁H₁ BD=P(∵在△ABD中，=，=，∴E₁H₁与BD不平行，必相交于一点P)矛盾，

      ∴ E₁H₁与F₁G₂不平行．

      综合(1)、(2)知E₁H₁与F₁G₂是异面直线．

      点击    采用证法1时，有些同学往往忽略强调点P在平面CBD上但不在直线F₁G₂上，且点E₁在直线E₁P上但不在平面CBD上，只证E₁H₁与F₁G₂无公共点的一面，而忽视它们不在同一平面上，便得出E₁H₁与F₁G₂是异面直线的结论，这是对其判定定理的片面理解，因而是错误的．

      在采用证法2时，易犯的错误也是不全面，只排除了E₁H₁与F₁G₂不可能相交而忽略了还应排除它们平行的可能．因此，一定要深刻理解异面直线的定义，克服证题中的片面性．

      例4  在正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，求它的对角线BD₁与平面A₁B₁CD所成的角．

错解   连结A₁C交BD₁于E，则∠D₁EA为BD₁与平面A₁B₁CD所成角．设正方体的边长为a.

则A₁E=D₁E=a．又  A₁D₁=a，

在△A₁ED₁中，由余弦定理得

cos∠A₁ED₁=

===     

∴∠A₁ED₁=arccos,即BD₁与平面A₁B₁CD所成角为arccos.

     点击   以上证法的错误在于，∠A₁ED₁不是直线BD₁与平面A₁B₁CD所成的角.平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，本题中D₁A₁不垂直于平面A₁B₁CD，所以A₁E不是D₁E在平面A₁B₁CD内的射影．正是对“直线在平面内的射影”这个概念理解不清，导致了以上错误，所以在解此类题时，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足与斜足连线才得射影.

正解    ∵A₁B₁⊥平面A₁ADD₁,   又A₁B₁平面A₁B₁CD

∴平面A₁ADD₁⊥平面A₁B₁CD.

连结AD₁交A₁D于O,则D₁O⊥A₁D,

∴D₁O⊥平面A₁B₁CD.

连A₁C交BD₁于E，连OE，则OE为D₁E在平面A₁B₁CD内的射影,

∴∠D₁EO为BD₁与平面A₁B₁CD所成的角.

设正方体的边长为a, 则D₁O=a, OE=AB=a,

在RtD₁OE中,    tan∠D₁EO==,

      ∴ ∠D₁E0=aretan，即BD₁与平面A₁B₁CD所成的角为arctan.

     例5  已知，AB是半径为R的⊙O的直径，0C⊥AB，P、Q是圆上两点，且∠AOP=30⁰，∠COQ=45⁰,沿OC折叠使半圆面成一直二面角(如图)，求P、Q两点间的距离.

错解   在平面AOC内，过点P作PD⊥OC于D， ∵ 平面AOC⊥平面BOC，则PD⊥平面BOC，连结DQ，

      ∴DQ 平面BOC，∠PDQ是直二面角A―O―CB的平面角，

       ∴∠PDQ=90⁰．

       ∵∠AOP=30⁰， ∴∠POD=60⁰．

    在Rt△POD中， PD=Rsin60⁰=R,

    在Rt△DOQ中， DQ=Rsin45⁰=R,

     ∴在Rt△PDQ中，PQ===,

      即P、Q两点间的距离是．

    点击   此证法的错误在于对二面角的平面角理解有误．判定一个角是否是二面角的平面角，必须同时满足三个条件：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③这两条射线都必须垂直于棱．误解中忽视了条件③中的“都”字，事实上，DQ与OC不垂直，这再次提醒我们必须搞清空间每个元素的确切含义，概念一定要清楚，解题过程中要严格按定义要求落实，不能随心所欲．

    正解   同错解，得PD=R.

又0D=R．在△0DQ中，由余弦定理得

    DQ²=0D²+0Q²一20D?OQcos45⁰

      ==R²

    在Rt△PDQ中，由勾股定理，得PQ=

                        ==.

故P、Q两点之间的距离为.