2009年高考数学难点突破专题辅导四
难点4 三个“二次”及关系
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.
●难点磁场
已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程
=|a－1|+2的根的取值范围.
●案例探究
［例1］已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).
(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.
命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目.
知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.
错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.
技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.
(1)证明：由
消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+
c2］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴
c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.
(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－
,x1x2=
.
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0
∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－
)
∵
的对称轴方程是
.
∈(－2,－)时，为减函数
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(
).
［例2］已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.
错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.
解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
∴
.
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)
●锦囊妙计
1.二次函数的基本性质
(1)二次函数的三种表示法：
y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n.
(2)当a>0,f(x)在区间［p,q］上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q).
若－
<p,则f(p)=m,f(q)=M;
若p≤－<x0,则f(－)=m,f(q)=M;
若x0≤－<q,则f(p)=M,f(－)=m;
若－≥q,则f(p)=M,f(q)=m.
2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.
(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小
a?f(r)<0;
(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根
(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)?f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.
(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p<q)
.
3.二次不等式转化策略
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞,α
)∪［β,+∞
a<0且f(α)=f(β)=0;
(2)当a>0时，f(α)<f(β) |α+|<|β+|,当a<0时，f(α)<f(β)|α+|>
|β+|;
(3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立
或
(4)f(x)>0恒成立
●歼灭难点训练
2009年高考数学难点突破专题辅导二
难点2 充要条件的判定
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.
●难点磁场
(★★★★★)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件.
●案例探究
［例1］已知p：|1－
|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.
知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.
错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.
技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.
解：由题意知：
命题：若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.
p:|1－|≤2
－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10
q:x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0
*
∵p是q的充分不必要条件，
∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集.
又∵m>0
∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m
∴
，∴m≥9，
∴实数m的取值范围是［9，+∞
.
［例2］已知数列{an}的前n项Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件.
命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.
知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.
错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.
技巧与方法：由an=
关系式去寻找an与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明.
解：a1=S1=p+q.
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1)
∵p≠0,p≠1,∴
=p
若{an}为等比数列，则
=p
∴
=p,
∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1
这是{an}为等比数列的必要条件.
下面证明q=－1是{an}为等比数列的充分条件.
当q=－1时，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1)
∴an=(p－1)pn－1 (p≠0,p≠1)
=p为常数
∴q=－1时，数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为q=－1.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决方法主要有：
(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.
(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“
”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.
(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.
(4)从集合观点看，若A
B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件.
(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).
●歼灭难点训练
2009年高考数学难点突破专题辅导一
难点1 集合思想及应用
集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.
●难点磁场
(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠
,求实数m的取值范围.
●案例探究
［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，证明此结论.
命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.
知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=转化为A∩C=且B∩C=，这样难度就降低了.
错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.
技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.
解：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=
∵
∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0
∵A∩C=
∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0
∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0,即b2>1 ①
∵
∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0
∴k2－2k+8b－19<0,从而8b<20,即b<2.5 ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得
∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.
［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.
错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.
技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.
解：赞成A的人数为50×
=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为
+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.
依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21.
所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.
●锦囊妙计
1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
2.注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A
B,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.
●歼灭难点训练
《考试说明》要点：识记现代汉字的字形
考核要求：与语音部分相同，本部分的能力要求也是“识记”。试题采用选择题的形式，在词语、成语或语句中进行考查。共1道题，计3分。
以下内容暂不在高考考查范围之内：
①汉字的演变与特点；
②造字法（六书）；
③汉字的笔顺、偏旁、结构、检字法；
④汉字的查检等。
东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第一次联合考试
数 学(理科)
本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页，试卷满分150分，
做题时间为120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形
码区域内．
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷(选择题，共60分)
阅读下面材料，按要求作文。
腐败，是一个严重的社会问题，随着远华走私案等一系列大案要案的相继告破，随着陈希同、胡长清、成克杰等巨贪的相继落网，更显出了我国政府打击腐败的决心与魄力。
请以“腐败”为话题，写一篇文章。
[注意]1.立意自定；2.文体自选；3.题目自拟；4.不少于800字；5.不得抄袭。
［备考思维点拨］反腐败是一项长期而艰巨的斗争，是整个社会都必须参与的活动。大的贪官固然令人痛斥，小的腐败问题同样也应得到人们的重视，小腐败培育了大腐败，对大腐败起一种滋养的作用。
腐败与权力有关，与金钱有关，有地位有关，与对自己思想放松警惕有关。大贪官往往是由最初的小事件而逐渐生成的。
可论证腐败与党的建设、经济发展、社会进步、社会风气的关系，可对目前反腐败中所存在的某些问题进行剖析，也可为反腐败提供证据(如以揭发材料的形式结构全文)，可提出建议、设想。
可从小事写起，叙事写人，以一个独特的视角来反映反腐败这一主题。
参考名言：
腐败如同一个雪球，它一旦滚动起来，就会越变越大。
──(英国) 科尔顿
反对腐败的行动，应在其尚未祸害我们之前进行。
──(美国) 杰佛逊
阅读下面材料，按要求写一篇文章。
周恩来曾走出国门，在法国勤工俭学，钱学森曾在美国求学，诺贝尔奖获得者美籍学者杨振宁的祖籍是中国安徽。
报载，仅2001年，中国去美国的留学生就多达5万人，相当于中国20多所著名大学一年的毕业生。
据统计，目前，中国移居美国的本科以上学历的各类人才已达45万多人，为美国创造了数万亿美元的财富。
请以“出国”为话题写一篇文章。
[注意]1.立意自定；2.文体自选；3.题目自拟；4.不少于800字；5.不得抄袭。
［备考思维点拨］出国是为了什么？深造？镀金？荣耀？发财？文化交流？学习先进技术？……无论是（想）出国者，还是普通百姓，对这一话题都会有话可说。
对出国人们有不同的看法，出国者也各有自己的目的；很多人为出国而奔波，很多出国人又想回国；出国与个人、与家庭、与国家振兴、民族繁荣的关系。关于出国，你也有自己的看法，也可能从影视等方面获得了不少感受；你可能有很多故事，也可能对自己将来的出国有种种美好的设想……
阅读下面材料，按要求作文。
每个人都离不开消费。
现在，消费的种类也很多：有生活消费，有医疗消费，有教育消费；有物质消费，也有精神消费；有人化自己的钱消费，也有人用公款消费；……
关于消费你有什么体会和理解，有什么看法或观点？
请以“消费”为话题写一篇文章。
[注意]1.立意自定；2.文体自选；3.题目自拟；4.不少于800字；5.不得抄袭。
［备考思维点拨］立意角度可参考：消费与经济的关系，自己或家庭的消费指数，你每年的文化消费有多少？关于时尚消费，情感消费，超前消费，等等。
中学生中兴起的“洋消费热”，你有什么看法？
由消费看经济发展、社会进步。由消费谈及腐败问题。从消费看人的个性或生活方式。
阅读下面材料，按要求写一篇文章。
城市中的小广告令人们深恶痛绝，被人们称为“牛皮癣”。在全国很多城市，人们发起了一场清除小广告的运动。
请以“小广告”为话题写一篇文章。
[注意]1.立意自定；2.文体自选；3.题目自拟；4.不少于800字；5.不得抄袭。
［备考思维点拨］可写小广告对城市环境、形象的影响，可写小广告的欺骗行为及给人们带来的危害，可写多年来坚持与小广告斗争、自愿清除小广告的人物与事迹，可谈自己的看法与理解，可写自己的建议与对策。
注意选择一个独特的视角来写作。
阅读下面材料，按要求写一篇文章。
有些人在分析问题、总结工作时，对出现的失误总是说不清，或不愿说清楚，认为问题的存在总有它的主客观原因，于是常用“这是多方面原因造成的”一句搪塞过去。
你认为这样说合适吗？
请以“多方面原因”为话题，写一篇文章。
[注意]1.立意自定；2.文体自选；3.题目自拟；4.不少于800字。
要求：立意自定，标题自拟，文体自选，不少于800字。
［备考思维点拨］工作中真有说不清的问题吗？真有没办法说或不能说清的问题吗？这里面有工作方法问题，工作制度问题，但更主要的是一个人的工作作风、思想境界问题，是一个对工作中出现的问题采取什么态度的思想意识问题。问题的出现可能有下面的“原因”：1.自己造成的，不愿实事求是，不愿承认错误，一推了之；2.自己下属造成的，不愿向上汇报，捂起来不让真相大白于天下，当然也可能是怕批评下属、追究责任，最后还是落到自己头上；3.其它部门造成的，不愿说明，怕得罪人，结果一团和气；4.是自己的上级造成的，那是领导，敢说吗？……凡此种种，都是不正之风在作怪。
文章可议论，指出其对工作的危害，挖问题的思想根源，或寻求解决问题的对策。也可写成杂文。也可构思为幽默短剧，如某领导的口头禅即 为“这是多方面原因造成的”，以此为主线组织材料，最后让其自食其果，在幽默的讽刺中体现主题。
阅读下面材料，按要求作文。
现今中学生很喜欢讲“成熟”。他们认为自己已经成熟了，思想上，意识上，于是有些同学变得很社会，广交朋友；烟不离手，有些人故作深沉，有些人希望与大人、老师平起平坐，……
现在的中学生真的成熟了吗？你怎么看待这一现象？
请以“成熟”为话题作文。
[注意]1.立意自定；2.文体自选；3.题目自拟；4.不少于800字；5.不得抄袭。
［备考思维点拨］可用讨论提纲的形式组织全文，也可写成演讲稿，或用日记体裁、书信体裁等。
从立意来说，既可对中学生的“成熟”意识表示肯定，分析这种意识深层所体现的参与社会、自立等方面的成长；也可指出目前中学生的“成熟”后面所表现出来的某些认识上的差距；可辩证地分析问题。此文不可泛泛而谈，要能体现出现今的符合中学生实际情况的新思想、新意识。
阅读下面的材料，根据要求作文。
明星崇拜是一个社会问题，影视歌星、足球明星让许多人为之倾倒，明星成了众多人心目中的偶像。
请以“偶像”为话题写一篇文章。
[注意]1.立意自定；2.文体自选；3.题目自拟；4.不少于800字；5.不得抄袭。
［备考思维点拨］可从社会现象逐步揭示问题的本质，可论述偶像的社会作用，以深刻透彻取胜；可论述“明星崇拜”或“偶像”产生的社会根源、意识形态，论述不同时代不同偶像的作用，如五六十年代的雷锋、焦裕禄、保尔等，八十年代的军人，九十年代的影视、体育明星，现今的网络高手……也可评述偶像虚伪做作、商业包装、广告吹捧的“真面目”；可批评盲目崇拜与模仿，可提示偶像背后商业炒作的恶果……可记叙故事，可辩证分析。
下面内容或立意可供参考：
偶像是“距离产生美感”的凡人，他们的存在给了我们完美。
偶像是从幼稚走向成熟的精神寄托。
偶像是人们理想自我的延伸。
偶像=第一印象+舆论宣传。
偶像是经过设计、包装、定位后，走在人群中的“名牌货”。
偶像是情感空虚者与盲目崇拜者的追求。
偶像的人生：喜欢 崇拜 讨厌。
材料：如何看待人生，是每个人都不可能回避的问题，每个人或多或少也都有看法和体会。
请以“人生”为话题，写一篇不少于800字的文章。
注意：立意自定，标题自拟，文体不限。
［备考思维点拨］可以直接谈看法，也可以记叙自己的一段经历。
可参考以下名言：
托尔斯泰说：“所谓人生，是一刻不停变化着的。”
德川家康说：“人生好比挑着重担走远路，不要急。”
斯特林堡说：“人生是一种惩罚或考验。”
德莱塞说：“理想是人生的太阳。”
科策布说：“真诚才是人生的最高美德。”
巴尔扎克说：“人生是由各种不同的变故、循环不已的痛苦和欢乐组成的。那种永远不变的蓝天只存在于心灵中间，向现实的人生去要求未免是奢望。”
阅读下面材料，然后按要求作文。
一位哲人曾说：成功和失败都是人生的十字路口，“从零开始”，才有可能开辟新的天地。
另一位哲人则说：一个人可以弃旧图新，可以再接再厉，却不能“从零开始”，因为历史是一个永远的存在。
请以“从零开始”为话题，写一篇文章。
要求：1.立意自定 2.文体自选 3.题目自拟 4.不少于800字
［备考思维点拨］从议论文的写作来主，可着重论述以上两个观点中的一个，也可采用辩证分析的方式。
写记叙类文章可把有关主题渗透进文章的内容之中，可叙写故事，可抒情。现在高考以话题作文为主，建议在训练时多选记叙类文体，在内容选材、文章结构、体裁选用等方面多下功夫，争取写出特色，向发展等级冲击。
阅读下面材料，按要求作文。
一个乞丐总是想：我能有两万元就好了。一天，他无意中发现了一条跑丢了的很可爱的小狗，乞丐发现四周没有人，便把狗抱回了自己的窑洞里，拴了起来。
这只狗的主人是这个城市的一个富翁。这位富翁丢了狗后，很为着急，这是条纯种的进口名犬。于是，他在利用电视等方式发了一则寻狗启事：如有拾到者，请速送还，酬金是二万元。
第二天，乞丐沿街乞讨时，看见了这个启事，便迫不急待地抱着小狗准备去领那二万元酬金。可当他匆匆忙忙抱着小狗又路过贴着启事的地方时，发现启事上的酬金提高到了三万元。
乞丐似乎不相信自己的眼睛，他向前走了几步突然停下了。他想了又想，转身又把小狗抱回了自己的窑洞里。第三天，酬金果然又涨了，第四天又涨了。直到第七天，酬金已涨到让乞丐吃惊时，乞丐才跑回窑洞去抱狗。可想不到的是，那条可爱的小狗已被饿死了。
乞丐还是乞丐。
请以“目标”为话题写一篇文章。
［备考思维点拨］目标是干成一件事的前提。人无目标不行，没有目标，就没有了方向；没有目标，就没有了行动，也自然找不到奋斗的动力。集体没有一个目标，每个人都按自己的看法办事，有劲也使不到一块，整个团队如一盘散沙，无斗志，无凝聚力……
爱默生曾说：一心向着自己目标前进的人，整个世界都给他让路。
没有远大的目标，就不可能干成一番大事业。然而，人生在世，很多美好的东西不是我们得不到，而是因为我们开始的期望可能太高了。刚快接近一个目标时，可能又有了新的更高的目标。所以，为自己订一个合适的目标，是一个人成功的关键。
从立意来讲，可写确立人生目标；新时代青年当志存高远；目标要适合自己，要使自己跳起来能够摸得着等。
阅读下面材料，按要求作文。
在生活、学习和工作中，有些界限一定要分清，甚至“不可越雷池一步”；而有些界限则必须打破，否则就会画地为牢，固步自封。
请以“界限”为话题，写一篇文章。
要求：1.自选角度，自拟题目。2.文体不限。3.不少于800字。
［备考思维点拨］不可打破的界线，如纪律、规律、法律等；必须打破的界线，如僵化的思想和思维模式、不合社会发展的老规矩、不合现代生活与工作需要的陈旧观点……
可打破人与人之间的隔膜，可打破领导与群众之间的鸿沟，也可写与父辈之间的理解、沟通等。可以记叙的方式写打破“界限”的故事，也可以议论的手法对有关问题进行剖析与辩论。
吉林省2009年
全真数学模拟试卷(二)
2009届第二学期高三联考试卷