1.已知y=sin2x+sinx+3,那么y′是（   ）

A.仅有最小值的奇函数

B.既有最大值又有最小值的偶函数

C.仅有最大值的偶函数

D.非奇非偶函数

分析 本题主要考查导函数的性质.

解 y′=(sin2x)′+(sinx)′=(cos2x)(2x)′+cosx=cos2x+cosx.

不妨设f(x)=cos2x+cosx，

∵f(-x)=cos(-2x)+cos(-x)=cos2x+cosx=f(x),∴y′为偶函数.

又由于y′=2cos²x-1+cosx=2cos²x+cosx-1,

令t=cosx(-1≤t≤1),

∴y′=2t²+t-1=2(t+)²-.

∴y′_max=2,y′_min=-.故选B.

答案 B

2.函数y=ax³-x在（-∞,+∞)上是减函数，则（  ）

A.a=         B.a=1          C.a=2          D.a<0

分析 本题考查常见函数的导数及其应用.可以采用解选择题的常用方法――验证法.

解 由y′=3ax²-1,当a=时，y′=x²-1,如果x>1,则y′>0与条件不符.同样可判断a=1,a=2时也不符合题意.当a<0时，y′=3ax²-1恒小于0，则原函数在（-∞,+∞)上是减函数.故选D

答案 D

3.已知f(x)=x³的切线的斜率等于1,则这样的切线有(   )

A.1条                      B.2条

C.多于2条                 D.不能确定

分析 本题主要考查导数的几何意义的应用.切线的条数是由切点的个数确定的.

解 f′(x)=3x²,由f′(x)=3x²=1,

得x=±.

所以符合条件的切线有2条.

答案 B

4.已知曲线y₁=x²,y₂=x³,y₃=2sinx,这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C,又设k₁、k₂、k₃分别为经过A、B、C且分别与这三条曲线相切的直线的斜率,则(    )

A.k₁<k₂<k₃                    B.k₃<k₂<k₁

C.k₁<k₃<k₂                    D.k₃<k₁<k₂

分析 本题主要考查导数的几何意义及导数的运算法则.

解 ∵y₁′=2x,y₂′=3x²,y₃′=2cosx,

∴y₁′|_x=1=2,y₂′|_x=1=3,y₃′|_x=1=2cos1.

∴k₃<k₁<k₂.

答案 D

5.★曲线y=x²+1在点(1,2)处的切线与x轴、直线x=3所围成的三角形的面积为(    )

A.13           B.14           C.9           D.10

分析 本题考查导数的相关知识及三角形的面积公式.

解 ∵y=x²+1,∴y′=2x.

∴y′|_x=1=2,切线的方程为y-2=2(x-1),与x轴的交点(0,0)所围成的三角形的面积S=(3-0)×6=9.

答案 C

6.★设f₀(x)=cosx,f₁(x)=f₀′(x),f₂(x)=f₁′(x),…,f_n+1(x)=fn′(x),n∈N,则f₂₀₀₆(x)等于(    )

A.sinx         B.cosx         C.-sinx         D.-cosx

分析 本题考查导数的运算及函数的周期性.

解 f₁(x)=(cosx)′=-sinx,

f₂(x)=(-sinx)′=-cosx,

f₃(x)=(-cosx)′=sinx,

f₄(x)=(sinx)′=cosx,

f₄(x)=f₀(x),f₅(x)=f₁(x),…,

f_n+4(x)=f(x),可知该函数的周期为4.

∴f₂₀₀₆(x)=f₂(x)=-cosx.

答案 D

7.★已知函数f(x)=x³+mx²+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是(  )

A.(-1,2)             B.(-∞,-3)∪(6,+∞)

C.(-3,6)             D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

分析 本题考查导数与极值的关系.

解 f′(x)=3x²+2mx+(m+6).

∵函数f(x)既存在极大值又存在极小值,

∴函数f′(x)=3x²+2mx+(m+6)的图象与x轴相交,即4m²-4×3×(m+6)>0.

解得m<-3或m>6.

∴实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(6,+∞).

答案 B

8.若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)>0,f′(x)>0,那么函数y=xf(x)(    )

A.存在极大值                   B.存在极小值

C.是增函数                     D.是减函数

分析 本题考查导数的应用.

解 ∵y=xf(x),∴y′=(x)′f(x)+xf′(x)=f(x)+xf′(x).又∵x>0,f(x)>0,f′(x)>0,

∴y′=f(x)+xf′(x)>0,

即函数y=xf(x)在(0,+∞)上是增函数.

答案 C

9.点P是曲线y=x²-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为(    )

A.1       B.       C.          D.3

分析 本题考查导数的几何意义及点到直线的距离公式.

解 ∵y=x²-lnx,

∴y′=2x-.

令2x-=1,得x=1或x=-(舍去).

当x=1时,y=x²-lnx=1.

此时点P(1,1)是到直线x-y-2=0距离最小的点.

∴d=

答案 B

10.已知抛物线y²=2px(p>0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为（   ）

A.(0,0)                        B.(,p)

C.(,p)                 D.(,p)

分析 本题考查利用函数的导数求解函数的最值.首先建立关于距离的目标函数关系式,然后合理地选取变量,通过求导数的方法求与最值有关的问题.本题也可以用解析几何中数形结合法求解.

解 设抛物线上的任意点(x,y)到点M的距离为d,

则有d²=(p-x)²+(p-y)²=(p-)²+(p-y)².所以(d²)′=2(p-)(-)+2(p-y)(-1)=-2p.

令(d²)′_y=0,即-2p=0,解得y=.这是函数在定义域内的唯一极值点,所以必是最值点.

代入抛物线方程得x===.

所以点(,p)为所求的点.

答案 D

第Ⅱ卷(非选择题共60分)

11.★曲线y=x³+3x²+6x-10的切线中,斜率最小的切线方程是         .

分析 本题考查常见函数的导数及导数的几何意义.

解 ∵y=x³+3x²+6x-10,

∴y′=3x²+6x+6=3(x+1)²+3.

∴(y′)_min=3.

此时,x=-1,y=(-1)³+3×(-1)²+6×(-1)-10=-14.

∴斜率最小的切线方程是y+14=3(x+1),

即3x-y-11=0.

答案 3x-y-11=0

12.函数y=sin2x的单调递减区间是         .

分析 本题考查导数在三角问题上的应用?

解法一 y′=2sinxcosx=sin2x.

令y′<0,即sin2x<0，

∴2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z.

∴kπ-<x<kπ,k∈Z.

∴函数y=sin²x的单调递减区间是(kπ-,kπ),k∈Z.

解法二 y=sin²x=-cos2x+,函数的减区间即cos2x的增区间，由2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z,得kπ-<x<kπ,k∈Z.

∴函数y=sin²x的单调递减区间是（kπ-,kπ),k∈Z.

答案 (kπ-,kπ),k∈Z

13.点P在曲线y=x³-x+上移动,设过点P的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是        .

分析 本题主要考查导数的几何意义,以及直线的倾斜角与斜率之间的关系.

解 ∵y′=3x²-1,即tanα=3x²-1,

∴tanα∈［-1,+∞).

∴α∈［0,)∪［,π).

答案 α∈［0,)∪［,π)

14.★若函数f(x)=log_a(x³-ax)(0<a<1)在区间(-,0)内单调递增,则a的取值范围是        .

分析 本题考查复合函数的导数及单调性.

解 令u=x³-ax,u′=3x²-a.

∵0<a<1,若f(x)在(-,0)内单调递增,必须u′<0,即3x²-a<0在(-,0)内恒成立,a>3x²,∴a≥.综上, ≤a<1.

答案 ≤a<1

15.(本小题满分8分)氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气,那么t天后,氡气的剩余量为A(t)=500×0.834^t.

(1)氡气的散发速度是多少?

(2)A′(7)的值是什么(精确到0.1)?它表示什么意义?

分析 本题考查常见函数的导数及导数的几何意义.

解 (1)氡气的散发速度就是剩留量函数的导数.

∵A(t)=500×0.834^t,

∴A′(t)=500×0.834^tln 0.834.        4分

(2)A′(7)=500×0.834⁷ln 0.834≈-25.5.

它表示在第7天附近,氡气大约以25.5克/天的速度自然散发.  8分

16.(本小题满分8分)某工厂需要建一个面积为512 m²的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？

分析 本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数.

解 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如右图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为 m，因此新墙总长度L=2x+(x>0),           2分

L′=2-.

令L′=2-=0,得x=16或x=-16.       4分

∵x>0,∴x=16.                          5分

∵L在(0,+∞)上只有一个极值点,

∴它必是最小值点.

∵x=16,∴=32.                    7分

故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省.?8分

[注] 本题也可利用均值不等式求解.

17.★(本小题满分8分)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为p=24 200-,且生产x t的成本为R=50 000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)

分析 本题主要考查利用导数求函数的最值.根据题意,列出函数关系式,求导求解.

解 每月生产x吨时的利润为f(x)=(24 200-)x-(50 000+200x)=-+24 000x-50 000(x≥0).                               4分

由f′(x)=-x²+24 000=0,

解得x₁=200,x₂=-200(舍去).          6分

∵f(x)在［0,+∞)内只有一个点x₁=200使f′(x)=0,

∴它就是最大值点,f(x)的最大值为f(200)=3 150 000(元).

∴每月生产200 t才能使利润达到最大,最大利润是315万元.    8分

18.(本小题满分10分)已知曲线C₁：y=x²与C₂:y=-(x-2)²,若直线l与C₁、C₂都相切,求l的方程.

分析 本题主要考查导数几何意义的应用.要求具有某种性质的切线,只需求出对应的x₀即可,一般要求出x₀所需满足的方程或方程组,解之即可.

解 设直线l与C₁相切于点(x₁,x₁²),

∵y=x²,∴y′=2x.

∴=2x₁.     2分

∴l：y-x₁²=2x1(x-x₁),即y=2x₁x-x₁².       3分

设直线l与C₂相切于点(x₂,-(x₂-2)²),

∵y=-(x-2)²,

∴y′=-2(x-2).

∴=-2(x₂-2).                   5分

∴l：y+(x₂-2)²=-2(x₂-2)(x-x₂),

即y=-2(x₂-2)x+x₂²-4.                  6分

比较l的两个方程,应有

将x₁=2-x₂代入第二个方程,得-(2-x₂)²=x₂²-4,

解得x₂=0或x₂=2,于是x₁=2或x₁=0.    8分

当x₁=2,x₂=0时,直线l经过两点(2,4)、(0,-4),

∴直线l的方程为y=4x-4;

当x₁=0,x₂=2时,直线l经过(0,0)、(2,0)两点.

∴直线l的方程为y=0.               10分

19.(本小题满分10分)已知A、B两地的距离是130 km.按交通法规规定,A、B两地之间的公路车速应限制在50~100 km/h.假设汽油的价格是4元/升,以x km/h速度行驶时,汽车的耗油率为(3+) L/h,司机每小时的工资是14元.那么最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用在什么范围内?

分析 本题考查常见函数的导数及利用导数知识解决实际问题的能力.

解 设这次行车的车速应为x km/h,总费用为y元,则y由一路的耗油费及司机的工资两部分组成.

y=      4分

y′,令y′=0,得x=        6分

由于x>时,y′>0,所以函数y=在x∈［50,100］上是增函数.故最经济的车速是50 km/h.                               8分

y_max=

y_min=

即这次行车的总费用在139.8~178.2元之间.      10分