上海市静安区2006年第二学期高三年级模拟检测
数学试卷
（满分150分，时间120分钟）
考生注意：
1． 各题号后未注明的试题是所有考生都要做的试题，如题号后注明（文）、（理）则分别表示该题供文、理考生做。
2． 可使用符合规定的计算器答题。
一、 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，每题4分，只要求直接填写结果．
1．已知
（其中
为实数，
为虚数单位），则
__________．
2．过点A（0，2）且与直线
垂直的直线方程为________________．
3．若点
在第二象限，则角
的终边在第
象限．
4．对于集合
，若
，则实数a的取值范围是__________．
5．在一个袋子里有18个红球和2个白球，现从中随机拿出3个，则其中至少有一个白球的概率是__________（用分数表示）．
6．(理)方程
的解
=____________．
(文)方程
的解=_____________．
7．（理）经过点A（a，0）（a >0），且与极轴正方向夹角为
的直线的极坐标方程为_____________．
（文）不等式组
表示的区域的面积是___________．
8．（理）函数
的值域是_____________．
（文）已知某工程由下列工序组成，则工程总时数为_________天．
工序
a
b
c
d
e
紧前工序
――
――
a、b
a
c、d
工时数（天）
3
4
2
5
1
9．（理）设
是方程
的两个根，则
__________．
（文）设
，则方程
的根为 ___________．
10．已知函数
是定义在R上的奇函数，且
的图像关于
对称，则
．
11．已知无穷等比数列
（n为正整数）的首项
，公比
．设
，则
=_____________．
12．已知命题：椭圆
与双曲线
的焦距相等．试将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：
二、 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.
13． 已知
均为锐角，p：
；q：
．则p是q的……（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．已知直角坐标平面上四点 A、B、C、D ，
，则一定共线的三点是 …………………………………………………………（ ）
（A）A、B、C （B）B、C、D （C）A、C、D （D）A、B、D
（说明：
与
表示意义相同）
15．（理）已知复数
在复平面上对应的点分别为A、B，将复平面沿虚轴折起，使两个半平面互相垂直，此时A、B两点之间的距离是（
）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（文）已知复数
在复平面上对应的点分别为A、B，点B绕点A逆时针旋转90°到达点C．则点C所对应的复数为……………………（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
16．某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个进水口，且该水池的蓄水量与时间（时间单位：小时）的关系如图丙所示：
给出以下三个判断:①0点到3点只进水不出水；②3点到4点，不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则上述判断中一定正确的是………………………（ ）
（A）① （B）② （C）①③ （D）②③
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17． (本题满分12分)
（理）如图所示，已知长方体ABCD―A1B
，求：长方体ABCD―A1B
（文）本题共有2个小题，每小题满分6分.
如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为2，点E为棱AD的中点，求：
（1）正四面体ABCD的体积；
（2）直线CE与平面BCD所成的角的大小（用反三角函数值表示）．
18．(本题满分12分) 本题共有2个小题，每1小题满分6分.
在
中，已知
=30，外接圆的半径R=17．
（1）求
的大小；（用反三角函数值表示）
（2）（理）若
，求的周长．
（文）若，求的面积．
19．(本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分3分.
某种洗衣机在洗涤衣服时，需经过进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程．假设进水时水量匀速增加，清洗时水量保持不变．已知进水时间为4分钟，清洗时间为12分钟，排水时间为2分钟，脱水时间为2分钟．洗衣机中的水量y (升)与时间x (分钟)之间的关系如下表所示：
x
0
2
4
16
16.5
17
18
…
y
0
20
40
40
29.5
20
2
…
请根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）试写出当
Î[0，16]时y关于x的函数解析式，并画出该函数的图像；
（2）根据排水阶段的2分钟点（x，y）的分布情况，可选用
或
（其中a、b、c、d为常数），作为在排水阶段的2分钟内水量y与时间x之间关系的模拟函数．试分别求出这两个函数的解析式；
（3）请问（2）中求出的两个函数哪一个更接近实际情况？（写出必要的步骤）
20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设函数
．
（1）求函数
的解析式；
（2）（理）设
，是否存在实数a，使得当
时，恒有
成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（文）设，当
时，求函数
在闭区间
上的最小值与最大值．
21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.
一个数表如图所示：
对于任意的正整数n，表中第n+1行中的数均由第n行中的数按相同规律生成得到．设
表示位于第n行的数的个数，
表示第n行各数的和．
（1）
试求
、
；
（2）
求；
（3）
若
表示数表中第n行第i个数，试用表示第n+1行中由所生成的数（写出它们之间的关系式）．
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知动圆过定点
，且与定直线
相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设点O为坐标原点， P、Q两点在动点M的轨迹上，且满足OP^OQ，OP=OQ，求等腰直角三角形POQ的面积；
（3）（理）设一直线l与动点M的轨迹交于R、S两点， 若
且
，试求该直线l的倾斜角的取值范围．
（文）设过点的直线l与动点M的轨迹交于R、S相异两点，试求△ROS面积的取值范围．
2006静安二模参考解答与评分建议
一、填空题
1. 0； 2. 2x-3y+6=0； 3. 四； 4. 
； 5. 
;
6.（文理）-1;
7.（理）
；（文）1/4；
8.（理）
；（文）9；
9.（理）1； （文）
10．0； 11.4/15；
12.椭圆
与双曲线
的焦距相等；
椭圆
与双曲线
的焦距相等
二、选择题
13．B 14．D 15．（文理）B 16．A
三、17.(理)
[解法一]如图建立空间直角坐标系， …（2分）
由题意，得A(0,0,0),C(2,2,0),
， …（4分）
设A1点的坐标为
，
则
，
…（6分）
设
则
，
因为A1D与AC所成的角的大小为
…（8分）
解方程
得
，故
的长度是4，
…（10分）
又
，
因此长方体ABCD―A1B
[解法二]过D引AC的平行线，交BA的延长线于F，则∠A1DF是异面直线A1D与AC所成的角。
∴∠A1D F=， …（4分）
DF=AC=
。
又由
得A
所以，三角形DA
A1D=
，所以A
因此长方体ABCD―A1B
（文）（1）解：（1）高
……（2分），
底面积
……（2分），
体积
……（6分）
（说明：直接由公式计算得出正确结果不扣分）
（2）过点E作
于F，ÐECF就是所求的角，…（8分）
在RtΔECF中，EF=
，
，
，…（10分）
所以CE与平面BCD所成角为
（12分）
18．（1）设
，由扩充的正弦定理
，得
…（4分）
所以
…（6分）
（两解遗漏一个扣1分）
（2）（理）由
得
，所以
为锐角，
…（8分）
即
，再由余弦定理
，得
，
…（11分）
所以的周长为70
…（12分）
（2）文：由得，所以为锐角，，…（8分）
即，…（10分）再由面积公式
…（12分）
19．（1）
，…（3分） 图像…（5分）
（2）?）设
，由表中数据可得：
…（7分）
所以函数解析式为：
…（8分）
?）设
，
由表中数据可得
…（10分）
所以函数解析式为：
…（11分）
（3）将x=18分别代入
，
得
…（13分）
原表实际情况为x=18时y=2，
显然更接近实际情况…（14分）
（或将x=16分别代入，
，
；原表实际情况为x=16时y=40，
，更接近实际情况）
（2）中所有可能情况列表：
x
17,18
16.5,17
16,18
5508
5472
16,16.5
16,17
16.5,18
5544
5440
5445
对于上述6个中任何一个都是符合要求，也是。
（3）的各种可能情况列表：
赋值x
16.5，16
16,18
16.5,17
，29.8，40.25
，39.6，2.6
，29.6，19.88
，31.7，45.2
40.461，5.385
，28.15，17.85
17,18
16.5,18
16,17
，19.6，1.5
，29.7，2.22
，39.81，19.79
，20.4，6.4
，29.29，5.76
，41.99，18.68
20．（1）设
，则
…（2分），
两边取对数得：
…（4分），所以
…（6分）
（2）（理）因为
时，函数有意义，所以
，所以
， …（7分）
设
，则
，二次函数
的对称轴为
，所以在上为增函数，当
时，取得最小值
，当
时取得最大值
…（9分）
从而可得在闭区间
上的最小值与最大值分别为
…（11分）
当
时，恒有
成立的充要条件为
，…（13分） 解得
。 …（14分）
文：设，则， …（8分）
二次函数的对称轴为，所以在上为增函数，…（10分）当时，取得最小值，当时取得最大值…（12分）
从而可得在闭区间上的最小值与最大值分别为 …（14分）
21．（1）
…（3分）
…（6分）
（2）
，
，…（9分）
即
…（10分）（注：仅有
得2分）
（3）
，…（13分）
，
…（16分）
22．（1）设动圆圆心M的坐标为M（x,y）， 因为动圆过定点，且与定直线相切，所以M到直线的距离等于M到F的距离，
于是有
…（2分）
化简得
，即动圆圆心M的轨迹方程为 …（4分）
（2）解法1：由抛物线的对称性可知，直线OP的方程为：
，…（6分）
可解得点P、Q的坐标分别为
…（8分）
所以，
…（10分）
解法2：因为OP^OQ，设直线OP的方程为：
，
则直线OQ的方程为：
，…（6分）
解得点P、Q的坐标分别为
，
由OP=OQ，得
，
，可得点P、Q坐标分别为…（8分）
所以，…（10分）
（3）（理）解法1：设
，由
解得
，…（12分）
…（14分）
?）直线与x轴垂直时，
，符合…（15分）
?）设RS斜率为k，倾斜角为
，
，由
得
，
所以，直线倾斜角的取值范围是
…（18分）
解法2：直线与x轴垂直时，，符合…（11分）
设直线l的方程为
，与
有交点，所以
之
，…（13分）
又
，…（15分）
所以
，
…（16分）
，即
，设
，则
，
所以，直线倾斜角的取值范围是…（18分）
文：设三角形面积为W，斜率不存在时，
，…（11分）
斜率存在时，显然
，设直线方程为
，设点P、Q的坐标分别为
，则
=
，…（13分）
由方程组
得
，所以
…（16分）
，该函数的值域为
，所以三角形面积W的取值范围是
…（18分）（注：端点
没取的总共扣1分）