1、探究二次函数与对应的一元二次方程之间的关系：

⑴求出方程x²-x-2=0的根（2和-1）；⑵画出函数y=x²-x-2的图象

发现并归纳：一元二次方程x²-x-2=0的两个实数根就是二次函数y=x²-x-2的图象和x轴交点的横坐标，也是二次函数y=x²-x-2的函数值等于0时的自变量x的值

2、零点的定义：方程f(x)=0的实数根的个数又叫函数y=f(x)的零点。这个方程f(x)=0叫做函数y=f(x)所确定的方程。

3、函数y=x²-x-2可以表示成什么形式：⑴y= x²-x-2（一般式）；⑵y=(x-2)(x+1)两点式或零点式；⑶y=(x-1)²-3（顶点式）一般情况下，二次函数解析式也有三种表达方式：一般式f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，两点式或零点式f(x)=a(x-x₁)(x-x₂),顶点式f(x)=a(x-h)²+k

4、一般的情况，一元二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况如何？

△=b²-4ac

△>0

△=0

△<0

ax²+bx+c=0的根

x_1,2=

x₁=x₂=-

方程没有实数根

y=ax²+bx+c(a>0)的图象及顶点h的函数值与0的大小关系

f(h)<0

f(h)=0

f(h)>0

y=ax²+bx+c（a<0）的图象及顶点h的函数值与0的大小关系

f(h)>0

f(h)=0

f(h)<0

顶点h函数值的与0的大小关系

af(h)<0

af(h)=0

af(h)>0

例1、求证方程x²+6x+4=0有两个不等的实数根（教材P76―2）

证明：[方法一]△=36-16>0,所以方程有两个不等的实数根

[方法二]设f(x)= x²+6x+4,在顶点的函数值f(-3)=-5<0所以方程有两个不等的实数根

说明：判断一元二次方程解的个数问题，如果x无条件限制，可以用判别式法（体现等价转化），也可以用图象法（看顶点的函数值----体现数形结合）

例2、（教材P75----例2）一个二次函数y=f(x)的图象如图⑴求出这个二次函数的零点；⑵写出它的解析式；⑶分别指出f(-4)f(-1),f(0)f(2)与0的大小关系。

解：⑴两个零点为-3和1；

⑵设f(x)=a(x+3)(x-1),由f(-1)=4得a=-1,故f(x)=- (x+3)(x-1)=-x²-2x+3

⑶f(-4)=-5,f(-1)=4,f(0)=3,f(2)=-5,故f(-4)f(-1)=-20<0,f(0)f(2)=-15<0

说明：一元二次函数y=f(x)对于实数m,n,m<n, f(m)f(n)<0,则f(x)在(m,n)之间有且仅有一个零点

练习：教材P76----3,4

例3、若方程x²+2mx+3=0两个根均小于0，求实数m 的范围。两个都小于-1的根呢？

解：⑴[方法一]设两根为x₁,x₂，则有

，解得m≥

[方法二]设f(x)= x²+2mx+3,作出其图象有：0点函数值大于0，对称轴在原点左侧，于是，解得m≥

⑵[方法一]将⑴方法一中的x₁,x₂分别换成x₁+1,x₂+1其余不变，有 x₁+1+x₂+1=-2m+2

<0, (x₁+1)(x₂+1)=x₁x₂+(x₁+x₂)+1=3-2m+1>0,结果≤m<2

    [方法二] 将⑴方法二中的f(0)换成f(-1)>0,对称轴在-1左侧有-m<-1, 结果≤m<2

说明1：方法一是等价转化，方法二为数形结合。一般不去解出方程再解不等式，而且随着数据的增多，用数形结合更方便。

练习：方程-4×2^x+9+a=0有两个不等实数根，求实数a的取值范围（解：设2^x=t>0,关于t的方程t²-4t+9+a=0有两个不等的正实数根，结果(-9,-7)）

补充作业

1、一个二次函数f(x)=ax²+bx+10

(1)有两个零点5和1，则a=_________,b=___________

(2)c存在一正一负两个零点的条件是__________

(3)若f(x₁)=f(x₂),(x₁≠x₂),则f(x₁+x₂)=__________

2、已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b)的零点为α、β，则a,b,α,β从小到大用小于号相连的顺序是__________________

3、方程x²-ax+a²-7=0,填满足下列条件的实数a的范围。⑴有两个负根______________;⑵有两个大于1的实数根__________;⑶有一个大于2另一个小于2的实数根__________

4、函数f(x)=-x²-2ax(0≤x≤1)的最大值为a²,求实数a的范围

5、已知m,n是函数f(x)=x²+(2-k)x+k²+3k+5的两个零点，求m²+n²的值域

6*、找出二次函数f(x)=ax²+bx+c有一个比d大一个比d小的零点的等价条件，并证明

                              [答案]

1、⑴a=2,b=-12；   ⑵ac<0(或af(0)<0)；    ⑶c    2、α<a<b<β；      

3、⑴[-，-);⑵(3, ];⑶(-1,3)

4、f(x)的对称轴为x=-a,这样有对称轴在[0,1]的左侧、之间、右侧三种情况，如图

⑴⑴无解

或⑵-1≤a<0；

或⑶ a=1

总之-1≤a≤0

5、△=-3k²-16k-16≥0，-4≤k≤-，m+n=k-2,mn=k²+3k-5,

f(k)= m²+n²=(m+n)²-2mn=(k-2)²-2(k²+3k-5)=-k²-10k-6↓，值域为[，18]

   6*、从图形看也是如此，二次函数f(x)=ax²+bx+c有一个比d大一个比d小的零点af(d)<0；

证明：f(x)= ax²+bx+c有一个比d大一个比d小的零点,设为x₁,x₂(x₁-d)(x₂-d)=x₁x₂-d(x₁+x₂)+d²=+d+d²<0ac+abd+ad²<0af(d)<0

2,5.1 （2）函数与方程：具体的一元二次不等式解法

[教学目的]：

[教学重点]：图象法解一元二次不等式

[教学难点]一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系

[ 教学过程]

       组织讨论： 
    从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
    (1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况
    (2)抛物线的开口方向，也就是a的符号
 总结讨论结果：
   （l）抛物线 （a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定   （2）a<0可以转化为a>0

设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

   二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

     无实根

        R

例1   解不等式

解：作出函数的图像

因为.

所以，原不等式的解集是.

说明：解一元二次不等式的步骤：

①     看看：看二次项系数将二次项系数是否为正，否则一般化为“+”：

②算算： 计算判别式，在△>0时，求确定方程的根

③ 画画：画出函数图象

④写写：写出不等式相应解集

练习1解不等式.（.）

练习2解不等式.（）.

练习3解不等式.（）.

      例2，关于x的不等式的解集是，求k的范围

解  =k²+8k<0,故-8<k<0

说明：已知解集求变量范围，实质就是将解不等式的过程倒过来求

练习1：不等式x²＋mx+＞0恒成立的条件是___________(答：0<m<4)

练习2：已知关于x的不等式ax²+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},求cx²+bx+a<0的解集（解答：-1与2是确定的方程ax²+bx+c=0的两个根，且a<0,于是-1+2=1=-,-1×2=-2=，两式相除得=，从而c<0,cx²+bx+a<0x²+x+>0x²+x->0

②     看看：看二次项系数将二次项系数是否为正，否则一般化为“+”：

②算算： 计算判别式，在△>0时，求确定方程的根

③ 画画：画出函数图象

④写写：写出不等式相应解集

?1、若不等式ax²+bx+b<0(a≠0)的解集是R，那么下列式子正确的是(    )?

A.a<0且b²－4ab>0? B.a<0且b²－4ab<0?C.a<0且b²－4ab≤0? D.a<0且b²－4ab≥0

2、.不等式－3<4x－4x²≤0的解集是________________________?

3、若0<a<1,则不等式(x－a)(x－)<0的解是__________________.

4、已知集合A＝｛x∈R｜x²－x－2≤0｝，B＝｛x∈R｜a＜x＜a＋3｝,A∩B＝，则实数a的取值范围是______

5、方程x²＋(m－3)x+m=0有两个实根，则m的取值范围是______.

6. 对于任意实数x，不等式(a－2)x²－2(a－2)x－4＜0恒成立，求实数a的取值范围. 7.m是什么实数时，方程mx²－(1－m)x+m=0有实根??

8*、实系数不等式ax²+bx+c>0的解为n<x<m,其中n<0<m,求不等式cx²+bx+a<0的解

[答案]

1、B

2、{x|－<x≤0或1≤x<}

3、a<x<

4、a≥2或a≤－4

5、 m≥9或m≤1

6，【解】 若a=2，不等式的解为全体实数

若a≠2，则即－2＜a＜2?综上－2＜a≤2

7，【解】 当m=0时，原方程为－x=0,x=0?∴m=0时，方程有实根.?当m≠0时，由题意知Δ=(1－m)²－4m²≥0?3m²＋2m－1≤0－1≤m≤且m≠0?

综上，当m∈｛m｜－1≤m≤｝时，原方程有实根.

8*，由已知,a<0,n+m=-,nm=<0,c>0 ,cx²+bx+a<0x²+x+<0,由已知=-(+),=,故x²-(+)x+<0,解为<x<

2.5.2函数与方程：二分法求方程的近似解

[教学目标]

[教学重点]二分法的掌握

[教学难点]二分法的理解

[备注]本节是一个课件

[教学过程]

一、创设情景，引入新课：

从上海到旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需要及时修理，怎样检查？才能尽快断定故障发生点？

分析：记上海到旧金山的接点依次分别为1，2，3，……,15，先检查第8个接点处，如果从1到8通，则故障在8到15之间，否则故障在1到8之间（如：故障在8到15之间）；再检查第12个接点，如果8到12通，则故障在12到15之间，否则故障在8到12之间（设在8到12之间）；再检查第10个接点，……这样一步步很快找到故障点。

象以上方法，将每个部分依次分成两部分，逐步逼近的方法，称二分法。用它不仅可以如此应用，而且还可以求方程的近似解。主题：二分法求方程的近似解

二、新课内容

x

0.84^x-0.5

3.6

0.03383302

3.8

0.01553872

4

-0.0021286

4.2

-0.0191905

4.4

-0.0356677

4.6

-0.0515803

4.8

-0.0669475

5

-0.0817881

例1、判断0.84^x=0.5在(3,5)之间是否有解？

解： ，设f(x)=0.84^x-0.5, [方法一]作图有在(3,5)之间有解

[方法二]计算得

f(3)>0,f(5)<0,故在(3,5)之间有解

说明1：不能作了图象后就直接说它有解，即不能看起来象就说它是，还需要证明。

练习1：方程a^x=log_ax是否只有一个解？（答：未必；用课件演示）

说明2：对于二次函数y=f(x),如果f(m)f(n)<0,则f(x)=0在(m,n)有且仅有一个实数根。对于一般的函数f(x)，这个结论还是否成立？不成立需要加说明条件？结论又是什么？

不成立，如图的情况在(x₁,x₂)内一定有解，但不是惟一解。一般的，对于连续函数y=f(x),f(m)f(n)<0,则f(x)=0在(m,n)内一定有解，但未必只有一个解

练习2：判断方程x³+3x-1=0在(0,1)内是否有解？（有）

例2、利用计算器求方程lgx=3-x的近似解（精确到0.1）

x

lgx+x-3

2

-0.69897

2.1

-0.57778

2.2

-0.45758

2.3

-0.33827

2.4

-0.21979

2.5

-0.10206

2.6

0.014973

2.7

0.131364

2.8

0.247158

2.9

0.362398

3

0.477121

解：作出y=lgx与y=3-x的图象如图，（也可以列表如表）

解在(2,3)之间，检验设f(x)=lgx+x-3，有： f(2)<0,f(3)>0,解x₁∈(2,3);f(2.5)<0,解x₁∈(2.5,3);f(2.75)>0, 解x₁∈(2.5,2.75);f(2.625)>0,解在(2.5,2.625)之间；f(2.5625)<0,解在(2.5625,2.625).故解的近似值为2.6

说明：以上就是用二分法求方程近似解的一个过程，是依次将区间二分，最后根据精确度四舍五入找到近似解。二分法求方程近似解的一般步骤是：

练习：求方程2^x+x=4及x³=2x+1的近似解（精确到0.1）（答案：⑴1.4；⑵，-1，-0.6,1.6）

四：作业：教材P81---习题5，补充作业

补充习题

1、写出下列方程解的个数：⑴4x²-6x-1=0在(-1,2)内_______；⑵log₂(x+4)=3^x_______;⑶e^x=1/x_____;⑷x=ln(x+2)在[e^-2-2,e⁴-2]内_______

2、下列不能用二分法求方程近似解的序号是（      ）

3、已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d的图象如图，则b的范围是_____________

4、函数f(x)=x(x-1)(x-2)+a一定有零点的区间是_____________

5、⑴方程=2x-3的解集是__________;⑵x³-x+1=0在(a,a+1),a∈Z上有解，则a=________________

6、讨论方程lgx+lg(4-x)=2lga解的个数

7、已知f(x)为定义在R上的减函数，且为奇函数，解方程f(x³-x-1)+f(x²-1)(精确到0.1)

8*、某教育基金会50年前成立时共有基金440万元，基金会将这部分基金用于投资，每年将投资收益的一半用于资助教育事业，已知今年这个基金会投入教育事业68万元，问它的平均年收益率为多少？（精确到0.1%）

                     [答案]

1、⑴2；⑵2；⑶1；⑷2

2、③

3、b<0

4、（-∞，1）

5、⑴{};⑵-2

6、a>1时，有0个；a=1时，有一个；0<a<1时，有两个

7、1.2

8*、440=68,x≈0.0468