第三单元 二次函数
一、教 法 建 议
抛砖引玉
教学应从生活中的实例引出二次函数，进而总结出二次函数定义：（a，b，c为常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.它是从实践中来，上升为理论的方法，使学生由感性到理性，感到真实贴切，易于接受.进而引导学生自己列表，动手画出二次函数y=x2，y=-x2的图象，总结出其性质，图象的形状――抛物线.以二次函数y=ax2为基础，以具体实例研究，然后由两个特殊型过渡到一般型的二次函数.要始终把由特殊到一般的思维方法孕育在教学中，把配方法交给学生，待定系数法确定二次函数解析式展现给同学们，再通过描点画出二次函数的图象，结合图象确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、图象的平移规律.图象是轴对称图形，并由二次函数的一般形式，通过配方写成顶点式的形式；结合二次方程的有关知识，由一般式可写成截距式的形式.三种形式实质是一致的，各有千秋，要向学生揭示各种形式的特点[如知其抛物线过三点时，可选用一般式求解；知其图象与x轴有交点时，可选用截距式求解]，以例在求函数解析式时灵活运用.
在教学中，要始终贯彻数形结合法、归纳法、演绎法、配方法、待定系数法.要求动手画图，动脑思考，精心观察，培养学生的各种思维方法.
批点迷津
二次函数这一内容，必须牢记数形结合法进行思维，知其三点求二次函数解析式的方法.如何结合代数、几何、锐角三角函数及生活实际等找到这三点，是求二次函数解析式的关键所在，要根据其性质、平移规律等进行思维，精心观察，数形结合，才能找到解题的突破口，并根据自变量的取值范围画出图象.一般地说，二次函数的图象是一条抛物线，那么x取值范围必须是实数.若x的取值范围在某一区间，则所画图象只是抛物线的一部分.根据实际问题，有时是整数点.总之，要根据自变量的取值范围具体画出图象.
在本单元，除抓住“数形结合法”这根主线，对动静的互相转化的辩证关系也要把握适时.
二、学 海 导 航
思维基础
（一）1．二次函数的图象的开口方向是向 ，顶点从标是 ，对称轴是 。
2．抛物线的顶点在x轴上，则m的值等于 .
3.如果把第一条抛物线向上平移个单位（a>0），再向左平移个单位，就得到第二条抛物线，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是
.
（二）1.如图代13-3-1所示二次函数的图象，则有（ ）
图代13-3-1 图代13-3-2
A.a+b+c<0 B.a+b+c=0 C.a+b+c>0 D.a+b+c的符号不定
2.如图1-3-2是抛物线的图象，则下列完全符合条件的是（ ）
A.a<0，b<0，c>0，b2<4ac B.a<0，b>0，c<0，b2<4ac
C.a<0，b>0，c>0，b2>4ac D.a>0，b<0，c<0，b2>4ac
3．已知抛物线的对称轴为x=1，与x轴、y轴的三个交点构成的三角形的面积为6，且与y轴的交点到原点的距离为3，则此二次函数的解析式为（ ）
A.或
B.或
C.或
D.或
学法指要
例 在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若∠ACB=90°，.
（1）求点C的坐标及这个二次函数的解析式；
（2）试设计两种方案，作一条与y轴不生命，与△ABC的两边相交的直线，使截得的
三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一.
【思考】 （第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y轴的交
点坐标？3.如何设出抛物线与x轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？
【思路分析】 本例必须准确设出A，B两点坐标，再求出C点坐标，并会用它们表
示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，相互转化，水到渠成.
解：（1）依题意，设A(a,0),B(,0)其中a<0, β>0，则a,β是方程
∴ AOC∽△COB。
把A（-4，0）代入①，得
解这个方程得n=2.
∴所求的二次函数的解析式为
现在来解答第二问。
【思考】这第二问所要求作的三角形应具备什么条件？什么样的三角形与△ABC相似？在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比？在一个图形上作一和直线，需要确定什么？△ABC是一个什么样的三角形？
【思路分析】①所求的三角形与△ABC相似；②所求的三角形面积=
所求三角形若与△ABC相似，要具备有“两角对应相等”，“两边对应成比例且夹角相等”，“三边对应成比例”等判定两三角形相似的条件。
在两三角形相似的条件下，“两三角形面积的比等于相似的平方”，即找相似比等于1:2.
在一个图形上，截得一个三角形，需要作一条直线，作一条直线应在图形上确定两个点，且这条直线不能与y轴重合。
分析至此问题十分明确，即在△ABC的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线。
再来分析△ABC是一个什么样的三角形，猜测它是直角三角形最为理想。
从第一问得知的条件A（-4，0）B（1，0），C（0，-2）可用勾股定理推出，△ABC确是直角三角形。
这样△ABC∽△CAO∽△BCO，且为作符合条件的直线提供了条件。下边分述作符合条件直线的方案。
方案1:依据“三角形两边中点的连线，截得的三角形与原三角形相似”，其相似比是1:2，面积的比为1:4。
作法：取AO的中点D，过D作D D¢∥OC，
∴D¢是AC的中点。
∴ AD：AO=1：2，
即 △AD¢D=.
△AD¢D∽△ACO∽△ABC.
图代13-3-3
∴DD¢是所求作的直线，AD¢D是所求作的三角形。
方案2：利用∠C作一个△BCF △COB。
作法：在CA上截取CE，使CE=CO=2，在CB上截取CF，使CF=BO=1，连结EF，则△BCF即为所求，如图代13-3-4所示。请读者证明。
图代13-3-4 图代13-3-5
方案3：在AC上截取AG，使AG=CO=2，在AB上截取AH，使AH=BC=，连结GH，则△AGH为所求，如图代13-3-5所示，请读者去证明。
方案4：在CA上截取CM，使CM=BO=1，在CB上截取CN，使CN=CO=2，连结MN，则△CMN为所求，如图代13-3-6所示，请读者去证明。
图代13-3-6 图代13-3-7
方案5：在BA上截取BP，使BP=BC=，在BC上截取BQ，使BQ=BO=1，连结PQ，则△BPQ为所示，如图代13-3-7所示。请读者去证明。
思维体操
例 一运动员推铅球，铅球刚出手时离地面米，铅球落地点距离铅球刚出手时
相应地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线.求这个抛物线的解析式.
图代13-3-8
如图，结合题意，知抛物线过，用一般式：
解之，于是有
解方程组，得
；
.
∴所求抛物线解析式为
或.
∵，这时，抛物线的最高点（-20，3）不在运动员与铅球落地之间，不合题意，舍去.
∴所求抛物线解析式为
（0≤x≤10）.
【扩散2】 仿扩散1知抛物线过.因B为顶点，所以利用顶点式最宜，于是可设抛物线的解析式为
.
又其图象过A，C两点，则
解方程组，得
；
.
∵抛物线最高点（-20，3）不在运动员和铅球之间，不合题意，∴舍去.
故所求抛物线的解析式是（0≤x≤10）.
【扩散3】 抛物线与x轴交于两点，即D（x，0），C（10，0），联想截距式解之.
于是设抛物线解析式为，
其图象又过A，C两点，则有
，∴.
又
，
∴ . ②
①②联立解方程组，得
；
.
但不合题意，舍去.
故所求二次函数解析式为（0≤x≤10）.
【扩散4】 由抛物线对称性,设对称点,B(m，3)，又C（10，0），应用一般式可获解.
设抛物线，则可得
解这个方程组，得
.
∵（m，3）在第一象限，∴m>0.
∴m=-20（舍去），∴m=4.
进而求得：
故所求抛物线解析式是：（0≤x≤10）.
【扩散5】 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α和β，OA=1千米，tgα=,tgβ=,位于O点正上方千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中的E点）.
（1）若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；
（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由.
【思路分析】
①本例应用扩散1～4思路均可，尤以扩散2应用顶点式最佳，读者可仿扩散2求得抛
物线解析式为：（0≤x≤10）.
②过点C作CB⊥Ox，垂足为B，然后解Rt△OBC和Rt△ABC，可求得点在抛
物线上，因此可击中目标C（请读者自己写出完整解答过程）.
【扩散6】 有一抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现
把它的图形放在坐标系里（如图所示），若在离跨度中心M点5m处垂直竖直一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？
图代13-3-9
【思路分析】 本例仿扩散2可设抛物线解析式为（0≤x≤40），
又抛物线过原点，进而求得，在距离M点5m处，即它们的横坐标是x1=15或x2=25，分别代入抛物线解析式，求得y1=y2=15.所以铁柱应取15m长.
【评析】 由扩散1～6，抛物线应用从体育方面，扩散到军事，涉及现代科技、导弹、
直升飞机等.进而又扩散到桥梁建筑，涉及到现代化建设的方方面面，告诉同学们，必须学好课本知识，才能适应现代化的需要.
图代13-3-10
本例的解题思路扩散，把顶点式、一般式、截距式、抛物线的对称性都进行了展示，
我们可以根据不同的情况，迅速进行决策，选设不同的解析式，达到求解的目的.
三、智 能 显 示
心中有数
二次函数的知识，是初中三年级数学的重点内容.在解有关二次函数的问题时，应用待
定系数法和方程、方程组的知识，用到数形结合、观察、想象的思想方法，应当深入理解和掌握这部分知识.
动手动脑
1.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在采
用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提高1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润为最大，并求出最大利润？
2.已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若
△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式.
3.已知抛物线.
（1）求证：不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A（2，0）.
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式.
（3）当d=10，P（a，b）为抛物线上一点.
①当△ABP是直角三角形时，求b的值；
②当△APB是锐角三角形、钝角三角形时，分别写出b的范围（不要求写出解答过程）.
创新园地
例 如图，有一模型拱门，其拱门的徒刑为抛物线的一部分（该抛物线为二次函数
的图形），拱门宽AB=20cm，拱门高PO为8cm，已知小明的玩具车宽为12cm，车高hcm，就能顺利通过这拱门，那么满足这个条件h的最大整数为 .
提示：本例没有告知拱门所在坐标，这就需要我们自己建立直角坐标系后求解.
图代13-3-11
一、填空题
1.把抛物线向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个
单位，得抛物线 .
2.函数图象的对称轴是 ，最大值是 .
3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y，那么y与x之间的函数关系
是 .
4.已知二次函数，通过配方化为的形
为 .
5.若二次函数（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则
x1与x2的关系是 .
6.抛物线当b=0时，对称轴是 ，当a，b同号时，对称轴在y轴 侧，当a，b异号时，对称轴在y轴 侧.
7.抛物线开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 .
8.若a<0，则函数图象的顶点在第 象限；当x>时，函数值随x的增大而 .
9.二次函数（a≠0）当a>0时，图象的开口a<0时，图象的开口 ，顶点坐标是 .
10.抛物线，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .
11.二次函数的图象的顶点坐标是（1，-2）.
12.已知，当x 时，函数值随x的增大而减小.
13.已知直线与抛物线交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 .
14.用配方法将二次函数化成的形式是 .
15.如果二次函数的最小值是1，那么m的值是 .
二、填空题
16.在抛物线上的点是（ ）
A.（0，-1） B. C.（-1，5） D.（3，4）
17.直线与抛物线的交点个数是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个
18.关于抛物线（a≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）
①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当
a<0时，情况相反.
②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.
③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.
④一元二次方程（a≠0）的根，就是抛物线与x轴
交点的横坐标.
A.①②③④ B.①②③ C. ①② D.①
19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）
A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-3
20.如果一次函数的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函
-3的大致图象是（ ）
图代13-2-12
21.若抛物线的对称轴是则（ ）
A.2 B. C.4 D.
22.若函数的图象经过点（1，-2），那么抛物线的性
质说得全对的是（ ）
A.开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交
B.开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交
C.开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交
D.开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交
23.二次函数中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ）
A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）
24.函数与（a<0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
图代13-3-13
25.如图代13-3-14，抛物线与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，
C两点，且BC=3，S△ABC=6，则b的值是（ ）
A.b=5 B.b=-5 C.b=±5 D.b=4
图代13-3-14
26.二次函数（a<0），若要使函数值永远小于零，则自变量x的取值范围是
（ ）
A．X取任何实数 B.x<0 C.x>0 D.x<0或x>0
27.抛物线向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为
（ ）
A. B.
C. D.
28.二次函数（k>0）图象的顶点在（ ）
A.y轴的负半轴上 B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上 D.x轴的正半轴上
29.四个函数：（x>0），（x>0），其中图象经过原
点的函数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
30.不论x为值何，函数（a≠0）的值永远小于0的条件是（ ）
A.a>0，Δ>0 B.a>0,Δ<0
C．a<0,Δ>0 D.a<0,Δ<0
三、解答题
31.已知二次函数和的图象都经过x
轴上两上不同的点M，N，求a，b的值.
32.已知二次函数的图象经过点A（2，4），顶点的横坐标为，它
的图象与x轴交于两点B（x1，0），C（x2，0），与y轴交于点D，且，试问：y轴上是否存在点P，使得△POB与△DOC相似（O为坐标原点）？若存在，请求出过P，B两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.
33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该
抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB的解析式；（2）抛物线的解析式.
图代13-3-15 图代13-3-16
34.中图代13-3-16，抛物线交x轴正方向于A，B两点，交y轴正方
向于C点，过A，B，C三点做⊙D，若⊙D与y轴相切.（1）求a，c满足的关系能工巧匠；（2）设∠ACB=α，求tgα；（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙O的位置关系并证明.
35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示
意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD＇部分为一段抛物线，顶点C的高度为8米，AD和A＇D＇是两侧高为5.5米的支柱，OA和OA＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C＇D＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.
求（1）桥拱DGD＇所在抛物线的解析式及CC＇的长；
（2）BE和B＇E＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A＇B＇为两个方
向的行人及非机动车通行区，试求AB和A＇B＇的宽；
（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车
载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA（或OA＇）区域安全通过？请说明理由.
图代13-3-17
36.已知：抛物线与x轴交于两点（a<b）.O
为坐标原点，分别以OA，OB为直径作⊙O1和⊙O2在y轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.
37.如果抛物线与x轴都交于A，B两点，且A点在x轴
的正半轴上，B点在x同的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b.
（1）求m的取值范围；
（2）若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在
点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
38.已知：如图代13-3-18，EB是⊙O的直径，且EB=6，在BE的延长线上取点P，使EP=EB.A
是EP上一点，过A作⊙O的切线AD，切点为D，过D作DF⊥AB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H，连结ED和FH.
图代13-3-18
（1）若AE=2，求AD的长.
（2）当点A在EP上移动（点A不与点E重合）时，①是否总有？试证明
你的结论；②设ED=x，BH=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
39.已知二次函数的图象与x轴的交点为
A，B（点A在点B右边），与y轴的交点为C.
（1）若△ABC为Rt△，求m的值；
（2）在△ABC中，若AC=BC，求∠ACB的正弦值；
（3）设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值.
40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB为直径的⊙C交x轴于A，交y轴于B，
满足OA∶OB=4∶3，以OC为直径作⊙D，设⊙D的半径为2.
图代13-3-19
（1）求⊙C的圆心坐标.
（2）过C作⊙D的切线EF交x轴于E，交y轴于F，求直线EF的解析式.
（3）抛物线（a≠0）的对称轴过C点，顶点在⊙C上，与y轴交点
为B，求抛物线的解析式.
41.已知直线和，二次函数图象的顶点为M.
（1）若M恰在直线与的交点处，试证明：无论m取何实数值，
二次函数的图象与直线总有两个不同的交点.
（2）在（1）的条件下，若直线过点D（0，-3），求二次函数
的表达式，并作出其大致图象.
图代13-3-20
（3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与y轴交于点C，与x同
的左交点为A，试在直线上求异于M点P，使P在△CMA的外接圆上.
42.如图代13-3-20，已知抛物线与x轴从左至右交于A，B两点，
与y轴交于点C，且∠BAC=α，∠ABC=β，tgα-tgβ=2,∠ACB=90°.
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积.
参 考 答 案
动脑动手
1.设每件提高x元（0≤x≤10），即每件可获利润（2+x）元，则每天可销售（100-10x）
件，设每天所获利润为y元，依题意，得
∴当x=4时（0≤x≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元.
2.∵，
∴当x=0时，y=4.
当时.
即抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴的交点为A（3，0），.
（1）当AC=BC时，
.
∴
（2）当AC=AB时，
.
∴ .
∴ .
当时，；
当时，.
（3）当AB=BC时，
，
∴ .
∴ .
可求抛物线解析式为：或.
3.（1）∵
图代13-3-21
∴不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点.
令y=0，得
，
∴ .
∴两交点中必有一个交点是A（2，0）.
（2）由（1）得另一个交点B的坐标是（m2+3,0）.
，
∵ m2+10>0，∴d=m2+1.
（3）①当d=10时，得m2=9.
∴ A（2，0），B（12，0）.
.
该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB的中点E（7，0）.
过点P作PM⊥AB于点M，连结PE，
则，
∴ . ①
∵点PD在抛物线上，
∴ . ②
解①②联合方程组，得.
当b=0时，点P在x轴上，△ABP不存在，b=0，舍去.∴b=-1.
注：求b的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.
②△ABP为锐角三角形时，则-25≤b<-1；
△ABP为钝角三角形时，则b>-1，且b≠0.
同步题库
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.
； 5.互为相反数； 6.y轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x>-1； 8.四，增大； 9.向上，向下，； 10.向下，（h,0），x=h； 11.-1，-2； 12.x<-1； 13.-17，（2，3）； 14.； 15.10.
二、选择题
16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.
C 29.A 30.D
三、解答题
31.解法一：依题意，设M（x1，0），N（x2，0），且x1≠x2，则x1，x2为方程x2+2ax-2b+1=0
的两个实数根，
∴ ，?.
∵x1，x2又是方程的两个实数根，
∴ x1+x2=a-3，x1?x2=1-b2.
∴
解得 或
当a=1,b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴a=1，b=0舍去.
当a=1；b=2时，二次函数和符合题意.
∴ a=1，b=2.
解法二：∵二次函数的图象对称轴为，
二次函数的图象的对称轴为，
又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N，
∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.
∴ .
解得 .
∴两个二次函数分别为和.
依题意，令y=0，得
，
.
①+②得
.
解得 .
∴ 或
当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴a=1，b=0舍去.
当a=1，b=2时，二次函数为和符合题意.
∴ a=1，b=2.
32.解：∵的图象与x轴交于点B（x1，0），C（x2，0），
∴ .
又∵即，
∴ . ①
又由y的图象过点A（2，4），顶点横坐标为，则有
4a+2b+c=4， ②
. ③
解由①②③组成的方程组得
a=-1,b=1,c=6.
∴ y=-x2+x+6.
与x轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.
与y轴交点D坐标为（0，6）.
设y轴上存在点P，使得△POB∽△DOC，则有
（1）当B（-2，0），C（3，0），D（0，6）时，有
.
∴OP=4，即点P坐标为（0，4）或（0，-4）.
当P点坐标为（0，4）时，可设过P，B两点直线的解析式为
y=kx+4.
有 0=-2k-4.
得 k=-2.
∴ y=-2x-4.
或 .
∴OP=1，这时P点坐标为（0，1）或（0，-1）.
当P点坐标为（0，1）时，可设过P，B两点直线的解析式为
y=kx+1.
有 0=-2k+1.
得 .
∴ .
当P点坐标为（0，-1）时，可设过P，B两点直线的解析式为
y=kx-1，
有 0=-2k-1，
得 .
∴ .
（2）当B（3，0），C（-2，0），D（0，6）时，同理可得
y=-3x+9，
或 y=3x-9，
或 ，
或 .
33.解：（1）在直线y=k(x-4)中，
令y=0，得x=4.
∴A点坐标为（4，0）.
∴ ∠ABC=90°.
∵ △CBD∽△BAO，
∴，即OB2=OA?OC.
又∵ CO=1，OA=4，
∴ OB2=1×4=4.
∴ OB=2（OB=-2舍去）
∴B点坐标为（0，2）.
将点B（0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得.
∴直线的解析式为：.
（2）解法一：设抛物线的解析式为，函数图象过A（4，0），B（0，
2），得
解得
∴抛物线的解析式为：.
解法二：设抛物线的解析式为：，又设点A（4，0）关于x=-1的对
称是D.
∵ CA=1+4=5，
∴ CD=5.
∴ OD=6.
∴D点坐标为（-6，0）.
将点A（4，0），B（0，2），D（-6，0）代入抛物线方程，得
解得 .
∴抛物线的解析式为：.
34.解：（1）A，B的横坐标是方程的两根，设为x1,x2（x2>x1），C的
纵坐标是C.
又∵y轴与⊙O相切，
∴ OA?OB=OC2.
∴ x1?x2=c2.
又由方程知
，
∴，即ac=1.
（2）连结PD，交x轴于E，直线PD必为抛物线的对称轴，连结AD、BD，
图代13-3-22
∴ .
.
∵ a>0,x2>x1，
∴ .
.
又 ED=OC=c，
∴ .
（3）设∠PAB=β，
∵P点的坐标为，又∵a>0，
∴在Rt△PAE中，.
∴ .
∴ tgβ=tgα. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.
∵ ∠ADE+∠DAE=90°
∴PA和⊙D相切.
35.解：（1）设DGD＇所在的抛物线的解析式为
，
由题意得G（0，8），D（15，5.5）.
∴ 解得
∴DGD＇所在的抛物线的解析式为.
∵且AD=5.5,
∴ AC=5.5×4=22(米).
∴ ）
=74（米）.
答：cc＇的长为74米.
（2）∵ ，
∴ BC=16.
∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）.
答：AB和A＇B＇的宽都是6米.
（3）在中，当x=4时，
.
∵ >0.
∴该大型货车可以从OA（OA＇）区域安全通过.
36.解:（1）∵⊙O1与⊙O2外切于原点O，
∴A，B两点分别位于原点两旁，即a<0，b>0.
∴方程的两个根a，b异号.
∴ab=m+2<0，∴m<-2.
（2）当m<-2，且m≠-4时，四边形PO1O2Q是直角梯形.
根据题意，计算得（或或1）.
m=-4时，四边形PO1O2Q是矩形.
根据题意，计算得（或或1）.
（3）∵ >0
∴方程有两个不相等的实数根.
∵ m>-2，
∴
∴ a>0，b>0.
∴⊙O1与⊙O2都在y轴右侧，并且两圆内切.
37.解：（1）设A，B两点的坐标分别是（x1，0）、（x2，0），
∵A，B两点在原点的两侧，
∴ x1x2<0，即-（m+1）<0，
解得 m>-1.
∵
当m>-1时，Δ>0，
∴m的取值范围是m>-1.
（2）∵a∶b=3∶1，设a=3k，b=k（k>0），
则 x1=3k，x2=-k，
∴
解得 .
∵时，（不合题意，舍去），
∴ m=2
∴抛物线的解析式是.
（3）易求抛物线与x轴的两个交点坐标是A（3，0），B（-1，0）
与y轴交点坐标是C（0，3），顶点坐标是M（1，4）.
设直线BM的解析式为，
则
解得
∴直线BM的解析式是y=2x+2.
设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是（0，2），
∴
设P点坐标是（x,y），
∵ ，
∴ .
即 .
∴ .∴.
当y=4时，P点与M点重合，即P（1，4），
当y=-4时，-4=-x2+2x+3，
解得 .
∴满足条件的P点存在.
P点坐标是（1，4），.
38.（1）解：∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，
∴ AD2=AE?AB=2×（2+6）=16.
∴ AD=4.
图代13-2-23
（2）①无论点A在EP上怎么移动（点A不与点E重合），总有.
证法一：连结DB，交FH于G，
∵AH是⊙O的切线，
∴ ∠HDB=∠DEB.
又∵BH⊥AH，BE为直径，
∴ ∠BDE=90°
有 ∠DBE=90°-∠DEB
=90°-∠HDB
=∠DBH.
在△DFB和△DHB中，
DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB，∠DBE=∠DBH，
∴ △DFB∽△DHB.
∴BH=BF， ∴△BHF是等腰三角形.
∴BG⊥FH，即BD⊥FH.
∴ED∥FH，∴.
图代13-3-24
证法二：连结DB，
∵AH是⊙O的切线，
∴ ∠HDB=∠DEF.
又∵DF⊥AB，BH⊥DH，
∴ ∠EDF=∠DBH.
以BD为直径作一个圆，则此圆必过F，H两点，
∴∠DBH=∠DFH，∴∠EDF=∠DFH.
∴ ED∥FH.
∴ .
②∵ED=x，BH=，BH=y，BE=6，BF=BH，∴EF=6y.
又∵DF是Rt△BDE斜边上的高，
∴ △DFE∽△BDE，
∴，即.
∴，即.
∵点A不与点E重合，∴ED=x>0.
A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，这时连结OD，则OD⊥PH.
∴ OD∥BH.
又 ，
，
∴ ，
由ED2=EF?EB得
，
∵x>0，∴.
∴ 0<x≤.
（或由BH=4=y，代入中，得）
故所求函数关系式为（0<x≤）.
39.解：∵,
∴可得.
（1）∵△ABC为直角三角形，∴，
即，
化得.∴m=2.
（2）∵AC=BC，CO⊥AB，∴AO=BO，即.
∴.∴.
过A作AD⊥BC，垂足为D，
∴ AB?OC=BC?AD.
∴ .
∴ .
图代13-3-25
（3）
∵ ，
∴当，即时，S有最小值，最小值为.
40.解：（1）∵OA⊥OB，OA∶OB=4∶3，⊙D的半径为2，
∴⊙C过原点，OC=4，AB=8.
A点坐标为，B点坐标为.
∴⊙C的圆心C的坐标为.
（2）由EF是⊙D切线，∴OC⊥EF.
∵ CO=CA=CB，
∴ ∠COA=∠CAO，∠COB=∠CBO.
∴ Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO.
∴ .
∴ .
E点坐标为（5，0），F点坐标为，
∴切线EF解析式为.
（3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为，可得
∴ .
②当抛物线开口向上时,顶点坐标为，得
∴ .
综合上述，抛物线解析式为或.
41.（1）证明：由
有 ，
∴ .
∴交点.
此时二次函数为
.
由②③联立，消去y，有
.
∴无论m为何实数值，二次函数的图象与直线总有两个
不同的交点.
图代13-3-26
（2）解：∵直线y=-x+m过点D（0，-3），
∴ -3=0+m，
∴ m=-3.
∴M（-2，-1）.
∴二次函数为
.
图象如图代13-3-26.
（3）解：由勾股定理，可知△CMA为Rt△，且∠CMA=Rt∠，
∴MC为△CMA外接圆直径.
∵P在上，可设，由MC为△CMA外接圆的直径，P在这个圆上，
∴ ∠CPM=Rt∠.
过P分别作PN⊥y，轴于N，PQ⊥x轴于R，过M作MS⊥y轴于S，MS的延长线与PR的
延长线交于点Q.
由勾股定理，有
，即.
.
.
而 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
.
∴ .
而n2=-2即是M点的横坐标，与题意不合，应舍去.
∴ ，
此时 .
∴P点坐标为.
42.解：（1）根据题意，设点A（x1，0）、点（x2，0），且C（0，b），x1<0，x2>0，b>0，
∵x1，x2是方程的两根，
∴ .
在Rt△ABC中，OC⊥AB，∴OC2=OA?OB.
∵ OA=-x1,OB=x2，
∴ b2=-x1?x2=b.
∵b>0,∴b=1，∴C（0，1）.
（2）在Rt△AOC的Rt△BOC中，
.
∴ .
∴抛物线解析式为.
图代13-3-27
（3）∵，∴顶点P的坐标为（1，2），
当时，.
∴.
延长PC交x轴于点D，过C，P的直线为y=x+1，
∴点D坐标为（-1，0）.
∴