平顶山市2008届高三调研考试
文科数学
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把答案涂在答题卡上．
（1）已知全集
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
（2）若a，b是任意实数，且a＞b，则
A．
B．
C．
D．
（3）已知
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
（4）在等差数列{
}中，若
，
，则
A．54 B．
（5）函数
的图象如图所示，则它的解析式是
A．
B．
C．
D．
（6）
展开式的第四项等于7，则x等于
A．－5 B．
C．
D．5
（7）经过点
被圆C：
截得的弦最短的直线的方程是
A．
B．
C．
D．
（8）4名男生与5名女生站成一排，要求4名男生的顺序一定，5名女生的顺序也一定，不同的站法总数为
A．126 B．
（9）若不等式
对一切
成立，那么
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
（10）
如图，在棱长为2的正方体
中，E是
的中点，那么异面直线DE和AC所成的角的余弦值等于
A． 
B． 
C． 
D． 
（11）函数
，当
时的最小值为
A．
B．
C．
D．1
（12）已知双曲线中心在原点且一个焦点为
，直线
与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是
A．
B．
C．
D．
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文科数学
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．
2．本卷共10小题，共90分．
一
二
三
总 分
17
18
19
20
21
22
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
（13）已知
，
，
与
的夹角为60°，则 与
的夹角余弦为 ．
（14）设
，式中变量
，
满足
，则
的最小值为_________．
（15）设正四棱锥
的底面ABCD在一个球的大圆上，顶点V也在这个球面上，那么它的侧面与底面所成的二面角为_______________．
（16）已知定义域为
的函数
是奇函数，那么函数
的反函数是___________________________．
（17）（本小题满分10分）
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
已知
．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）设
，且函数为偶函数，求满足
，
的x的集合．
（18）（本小题满分12分）
有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率为
. 若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面进行维修.
（Ⅰ）求一个面需要维修的概率；
（Ⅱ）求至少有3个面需要维修的概率.
（19）（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是BC上一点，且AD⊥C1D.
（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）求二面角C-AC1-D的大小.
（20）（本小题满分12分）
设数列
、
分别满足
，
，
．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）若数列
的前
项和为
，试求．
（21）（本小题满分12分）
已知函数
，
，其中
是的导数．
（Ⅰ）对满足
的一切的值，都有
，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设直线
是函数
图象的一条切线，求函数的单调区间．
（22）（本小题满分12分）
已知定点
，过点A作倾斜角为45°的直线l，交抛物线
于B、C两点，且|BC|=
．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
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文科数学答案
三．解答题：
（17）解：（Ⅰ）
=
或
，
…………3分
所以，的最小正周期
；
…………5分
（Ⅱ）当
时，f（x）为偶函数 ．
…………7分
由，得
，所以
，
…………8分
，
…………9分
所以，所求x的集合为
． ……………10分
（18）解：（Ⅰ）因为每面上的5只灯正常发光是5次独立重复试验，所以一个面不需要维修的概率为
，
……4分
因此，一个面需要维修的概率为
.
……6分
（Ⅱ）因为六个面是否需要维修是6次独立重复试验，所以，至少有3个面需要维修的概率是
，
……8分
又
，
，
，
，
因此， 
.
……12分
（19）解：（Ⅰ）∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，∴ CC1⊥平面ABC，∵ AD⊥C1D，
∴ AD⊥BC， ∴ D是BC的中点.
……3分
连结AC1与A1C相交于E点，在△A1BC中，∵D、E是中点，
∴A1B∥DE，又DE在平面AC1D内，∴A1B∥平面AC1D.
……6分
（Ⅱ）作CF⊥C1D于F，则CF⊥平面AC1D，连结EF，∵CE⊥AC1
∴ EF⊥AC1，∴ 则∠CEF就是二面角C-AC1-D的平面角. ……8分∵
，
， ……10分
∴
，
即，二面角C-AC1-D的
大小为
.
……12分
方法二：设D1是B1C1的中点，以DC为x轴，
DA为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系
（如图）， ……7分
并设
，则
，
，
，∵AC的中点为
，
∴
，
……8分
∴平面AC1C的法向量
.
……9分
设平面AC1D的法向量为
，∵
，
∴
，∴
， ……10分
∴
，
……11分
因此，二面角C-AC1-D的大小为
. ……12分
（20）解：（Ⅰ）∵，∴
，
∴
当
时，
，而当
时
，∴． …………3分
∵
，∴ 
，
∴当时，
，而当时
，∴．………6分
（Ⅱ）∵
， ∴ 
…………8分
∴
，
…………9分
∴相减得
，
∴
．
…………12分
（21）解：（Ⅰ）由题意
，
…………2分
令
，，
对，恒有
，即
，
∴
， 即 
，
…………4分
解得
．
故
时，对满足的一切的值，都有．………6分
（Ⅱ）∵ 
，设直线与函数相切于点
，
则
，
…………7分
所以
，即
，
解得
，
，所以
，
．…………9分
因此，是函数的单调递增区间；是函数的单调递减区间；是函数的单调递增区间． ……………12分
（22）解：（Ⅰ）直线l方程为
，将其代入
，整理为，
．①
…………2分
∵p>0，∴
．
设
．
∴
．
…………4分
∵|BC|=，而
，
∴
，解得p=1．
∴抛物线方程
．
…………6分
（Ⅱ）假设在抛物线上存在点
，使得|DB|=|DC|成立，
记线段BC中点为
．
则
．
………8分
当p=1时，①式成为
．
∴
，
．
∴点应满足
．
…………10分
解得，
．
∴存在点
或（8,-4），使得|DB|=|DC|成立．
…………12分