四川省绵阳市高中2007级第三次诊断性考试-数学(理)1．已知数列{ an }, “{ an }为等差数列是 “对任意N.点P an都在直线上的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C——青夏教育精英家教网——

四川省绵阳市高中2007级第三次诊断性考试-数学（理）

1．已知数列{ a_n}, “{ a_n}为等差数列” 是 “对任意N，点P a_n都在直线上” 的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．若关于的方程(R)有实数根，且，则复数等于

A． B． C． D．

3．已知、满足约束条件则的最大值为

A． B． C． D．

4．设双曲线的焦点在轴上, 两条渐进线为, 则双曲线的离心率

A． B． C． D．

5．在AOB中, , , 若, 则三角形AOB的面积等于

A． B． C． D．

6．7个身高各不相同的学生排成一排合影留念, 高个子站在中间, 从中间到左边一个比一个矮, 从中间到右边也一个比一个矮, 则这样的排法共有

A．20种 B．40种 C．60种 D．120种

7．已知正方体外接球的体积是, 那么正方体的顶点、的球面距离为

A． B． C． D．

8．已知, [ 0, ], 则

A． B．或 C． D．

9．设函数＞0且的图像过点(4, 2), 其反函数的图像过点(1,),等于

A． B． C． D．

11．等比数列中, ＞1, 若其前项和满足, 则的取值范围是

A．(1, 2) B．(1, 4) C．(1,) D．(1,)

12．若二次函数图像的顶点坐标为, 与轴的交点、位于轴的两侧，以线段为直径的圆与轴交于和.则点所在曲线为

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

13．的展开式中，的系数为．

14．若＜＜在区间上的最大值是，则．

15．给出下列四个命题：

① 对任意直线，在平面内一定存在直线与平行；

② 对于任意两条直线，在空间中至少存在着一个平面和它们都平行；

③ 对于两条异面直线、，在空间中一定存在一个平面与它们都垂直；

④ 垂直于两条异面直线的直线一定垂直于和这两条异面都平行的平面．

其中正确命题的代号是．

16．如图，过点的直线与函数的图像交于点，与轴交于点．若，则点的横坐标为．

（精确到0.1，，）

17．（本题满分12分）已知函数．

（Ⅰ）求函数的定义域和周期；

（Ⅱ）在直角坐标系中作出在的图像．

18．（本题满分12分）公园里有一种“弹珠子”的小游戏：游戏者交两元钱给摊主，就可以弹珠子一局（一局为独立弹珠子三次），珠子弹出后在盘中经过一系列碰撞后等可能地随机滚入编号为1、2、3的三个盒子中．珠子如果滚入1、3号盒子中，游戏者均积1分，如果滚入2号盒子中，游戏者积分．游戏者可以根据不同积分领取奖品．用表示游戏者玩一局的总积分，求的分布列和数学期望．

19．(本题满分12分) 如图，直三棱柱中，AB ＝，AC ＝3，BC ＝，D是AC₁的中点，E是侧棱BB₁上的一个动点．

（Ⅰ）当E是BB₁的中点时，证明：DE∥平面．

（Ⅱ）在棱BB₁上是否存在点E，使二面角E－ AC₁－ C是直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

20．(本题满分12分) 已知函数，、是大于0的常数．

（Ⅰ）当，时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，且在R上单调递增，求的取值范围．

20．(本题满分12分) 已知数列满足：，，≥．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求使不等式＜成立的所有正整数、的值．

22. （本题满分14分）

如图，A、F是椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点，若椭圆的离心率为e, ，试求直线PA的倾斜角（用含e的反正弦表示）。

绵阳市高中2007级第三次诊断性考试 数学（理科）参考解答及评分标准

三、解答题：17．（Ⅰ）由得，

∴，得x≠2kp +p，且，k∈Z

∴函数f（x）的定义域为{x| x∈R，且x≠2kp +p，，k∈Z }．………………………3分

又

=，

所以，函数f（x）的周期是2p．……………………………………………………………………8分

（Ⅱ）在上取值列表为：

x

0

p

f (x)

不存在

0

1

1

0

不存在

不存在

0

……………………………………………………………………………………………………………12分

18．由题意知，x 的取值为－6，－3，0，3．

∵ 珠子是等可能地随机滚入三个盒子中，∴ 珠子滚入每个盒子的概率都是．………………3分

∴ P（x =－6）==，P（x =－3）= 2×=，

P（x = 0）=，P（x = 3）= ．…………………………………………9分

x

－6

－3

0

3

P

∴ x 的分布列是：

………………………………10分

x 的数学期望 Ex == 0．……………………………………………12分

19．（Ⅰ）取A₁C₁的中点F，连结DF，则 DF∥AA₁，DF =．∵ ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴ B₁E∥AA₁，而E是BB₁的中点，∴ B₁E =，∴ DF∥B₁E 且 DF = B₁E，

∴ 四边形DEB₁F是平行四边形，从而 DE∥B₁F，注意到 B₁F 在平面A₁B₁C₁内，

所以 DE∥平面A₁B₁C₁．………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）假设存在点E使平面EAC₁⊥平面ACC₁A₁，则过E作EM⊥AC₁于M，过B作BN⊥AC于N，连结MN．∵ 二面角E?AC₁?C是直二面角，即平面EAC₁⊥ACC₁A，

∴ EM⊥平面ACC₁A．同理可证 BN⊥平面ACC₁A．∴ EM∥BN．………8分

由B₁B∥平面ACC₁A₁，得 EM = BN，

∴ 四边形EMNB是平行四边形，得 MN∥BE，且MN = BE，MN∥CC₁．

在△ABC中，cos∠BAC =，

∴ ∠BAC = 45°．在Rt△ABN中，得 AN = 1．∵ MN∥CC₁，

∴ ，即在棱BB₁上存在点E，

当时，二面角E?AC₁?C是直二面角．……………………………12分

（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系．则三角形ABC的面积为

，∴ 点A到BC所在直线的距离AD满足

，而BC =，得，∴．

设BE = m，BB₁ = lm（m，l≠0），则，，，C₁(0，0，lm)．

在此坐标系下，很容易得到平面ACC₁A₁的一个法向量．

，．

设平面EAC₁的一个法向量为．

= 0

= 0

即，．

取，可得，．

当二面角E?AC₁?C是直二面角时，有 =?= 0，

∴ 2（2m－）－（lm－m）= 0，解得 l = 3，即在棱BB₁上存在点E，当时，二面角E?AC₁?C是直二面角．………………………………………………………………………………12分

20．因为 f (x) =，所以 f ′ (x) =+( 2x+ n )

= [ 2x²+（2m + n）x + mn + 1 ] ?．………………………………………………………………3分

（Ⅰ）当m = 1，n = 5时，f ′ (x) =（2x²+ 7x + 6）?，注意到＞0，

则由f ′ (x)＞0，解得 x＜－2或x＞；由f ′ (x)＜0，解得－2＜x＜．

因此函数f (x) 在（－∞，－2）与（，+∞）上递增；f (x) 在（－2，）上递减． ………6分

（Ⅱ）由已知有 f ′（0）= mn + 1，所以 == f ′（0）= 4，

即 mn + 1 = 4，得 mn = 3．……………………………………………………………………………9分

要使函数f (x) =在R上单调递增，只须 f ′ (x)≥0在R上恒成立，

∴ 只须（2m + n）²－4×2×（mn + 1）≤0，即（2m－n）²≤8．把代入上式，

得（－n）²≤8，解得 ≤n≤3．………………………………………………………………12分

21．（Ⅰ）由2 a_n+1= 3a_n－a_n_－₁（n≥2），得 2（a_n+1－a_n）= a_n－a_n_－₁，

∴，因此数列{ a_n－a_n_－₁}是以a₂－a₁ = 1为首项，为公比的等比数列，

∴，……………………………………………………………………………………4分

于是 a_n=（a_n－a_n_－₁）+（a_n_－₁－a_n_－₂）+ … +（a₂－a₁）+ a₁

==． ………………………………………6分

（Ⅱ）由不等式，得，

∴ ，即，………………………………………………8分

所以 2＜（4－m）? 2ⁿ＜8． ∵ 2ⁿ为正偶数，4－m为整数，

∴ （4－m）? 2ⁿ= 4，或（4－m）? 2ⁿ= 6，

∴ 或或或

解得或或或

经检验使不等式成立的所有正整数m、n的值为

（m，n）=（1，1）或（2，1）或（3，2）．………………………………………………………12分

说明问题（1）的归纳做法是：由已知可得，

∴ ，，

，……，于是．

22．方法一：由题意知A（－a，0），F（c，0），a² = b² + c²，．

设点P的坐标为P（x₀，y₀），则，，

∵ ，∴ PA⊥PF，表明△PAF是直角三角形，

于是

∴ ．（1）…………………………………………………4分

∵ P是椭圆C上在第一象限内的点，

∴ ，即．（2）将（1）代入（2）得

即，∴ ，

由于x₀+ a＞0，∴ 只有，得 …………………………7分

∵ c = ea，b²= a² ? c²，∴ ．（3）……………………………9分

根据椭圆的定义，有，而，

∴ 在Rt△PAF中，有．（4） ……………………………………………11分

将（3）代入（4）得因此．…………………………………………………………………………………………14分

解法二由题意知A（－a，0），F（c，0），a² = b² + c²，．

则直线PA的方程为 y =（x + a）tanq，．（1）

将直线PA的方程与椭圆方程联立，消去y后，得

（b² + a² tan²q）x² + 2a³ tan²q ? x + a⁴ tan²q－a²b² = 0．（2）…………………………………………4分

因为点A（－a，0）和P（x₀，y₀）的坐标满足方程（1）和（2），

所以，有，即，

y₀ =（x₀ + a）tanq =．……………………………………………………………………6分

若，则PA⊥PF，表明△PAF是直角三角形，从而有 ?PA?² +?PF?² =?AF?²，

∴ （x₀+ a）² + y₀² +（x₀－c）² + y₀² =（a + c）²，∴ x₀² + y₀² +（a－c）x₀ = ac．……………8分

将x₀、y₀代入上式，得++= ac．去分母，整理，得=，……………12分

将 c = ea代入，得 Û Û ，

于是，为所求．…………………………………………………………14分