5.已知集合M={-1,1},N={x|＜2^x+1＜4,x∈Z },则M∩N等于　　　　　　　　　 　　　　( 　　)

?A.{-1,1}　　　　 　　?B.{-1} ?　　　　　 C.{0}　　　　　　　　 D.{-1,0}　

答案?B?　

例1已知a=,b=9.求：

(1)

(2).

解　 (1)原式=.÷［a·］　

= =a.　

∵a=，∴原式=3.　

(2)方法一　 化去负指数后解.　

　∵a=∴a+b=

方法二　 利用运算性质解.　

∵a=∴a+b=

　 　　例2　 函数f(x)=x²-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(b^x)与f(c^x)的大小关系是　　　　 　　　　　　(　 )

A.f(b^x)≤f(c^x)?　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.f(b^x)≥f(c^x)

C.f(b^x)＞f(c^x)　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　D.大小关系随x的不同而不同

答案?A

例3　 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：　

(1)f(x)=3;　

(2)g(x)=-(.

解 (1)依题意x²-5x+4≥0,　

解得x≥4或x≤1,　

∴f(x)的定义域是(-∞，1］∪［4，+∞).　

令u=∵x∈(-∞，1］∪［4，+∞)，　

∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥3⁰=1,　

∴函数f(x)的值域是［1，+∞).　

∵u=,∴当x∈(-∞，1］时，u是减函数，　

当x∈［4，+∞)时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，　

f(x)=3在(-∞，1］上是减函数，在［4，+∞)上是增函数.　

故f(x)的增区间是［4，+∞)，减区间是(-∞，1］.　

(2)由g(x)=-(　

∴函数的定义域为R，令t=(^x (t＞0),∴g(t)=-t²+4t+5=-(t-2)²+9,　

∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)²+9≤9,等号成立的条件是t=2,　

即g(x)≤9,等号成立的条件是(=2，即x=-1，∴g(x)的值域是(-∞，9］.　

由g(t)=-(t-2)²+9 (t＞0),而t=(是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，　

求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.　

∵g(t)在(0，2］上递增，在［2，+∞)上递减，　

由0＜t=(≤2,可得x≥-1,　由t=(≥2,可得x≤-1.　

∴g(x)在［-1，+∞)上递减，在(-∞，-1］上递增，　

故g(x)的单调递增区间是(-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞).　

例4 (12分)设a＞0,f(x)=是R上的偶函数.　

(1)求a的值；　

(2)求证：f(x)在(0，+∞)上是增函数.　

(1)解　 ∵f(x)是R上的偶函数，∴f(-x)=f(x)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　1分　∴

∴(a-=0对一切x均成立，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 3分　

∴a-=0，而a＞0,∴a=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　4分

(2)证明　 在(0，+∞)上任取x₁、x₂，且x₁＜x₂,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　5分　

则f(x₁)-f(x₂)= +--

= (　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

∵x₁＜x₂,∴有?　

∵x₁＞0,x₂＞0,∴x₁+x₂＞0,∴＞1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　10分

-1＜0.∴f(x₁)-f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂),

故f(x)在(0,+∞)上是增函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　12分　

4.关于函数f(x)=2^x-2^-x(x∈R)，有下列三个结论：　

①f(x)的值域为R；　

②f(x)是R上的增函数；　

③对任意x∈R,有f(-x)+f(x)=0成立.　

其中全部正确的结论是　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 　)

?A.①②③　　　　 ?　　　　　 B.①③　　　　　　　　　　　 C.①②　　　　 　　　　　　D.②③　

答案?A?　

3.函数f(x)=a^x-b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　 　　　(　 　)?A.a＞1,b＞0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.a＞1,b＜0　

?C.0＜a＜1,b＞0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.0＜a＜1,b＜0　

答案?D?　

2.设指数函数f(x)=a^x(a＞0且a≠1)，则下列等式不正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(　 　)

? A.f(x+y)=f(x)·f(y)　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　B.f((xy)ⁿ)=f ⁿ(x)·f ⁿ(y)　

?C.f(x-y)=　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　D.f(nx)=f ⁿ(x)　

答案?B?　

1.已知a＜，则化简的结果是　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　(　 　)

A.　　　　 　　　　B.-?　　 　　 　　　　C.　　　 　　　?D.-　

答案?C?　

12.设关于x的一元二次方程ax²+x+1=0(a＞0)有两个实根x₁,x₂.　

(1)求(1+x₁)(1+x₂)的值；　

(2)求证：x₁＜-1且x₂＜-1;　

(3)若,试求a的最大值.　

(1)解　 ∵x₁、x₂为方程ax²+x+1=0的两个实根,∴x₁+x₂=-，x₁x₂=　

∴(1+x₁)(1+x₂)=1+(x₁+x₂)+x₁x₂=1-+=1.　

(2)证明　 令f(x)=ax²+x+1,Δ=1-4a≥0得0＜2a≤,　

∴抛物线对称轴x=≤-2＜-1.又f(-1)=a＞0.　

∴f(x)图象与x轴交点均在(-1，0)的左侧，∴x₁＜-1且x₂＜-1.　

(3)解　 由(1)得x₁=,　∴

∴-,∴a=

∴-，即x₂=-2时，a的最大值为.

§2.6　 指数与指数函数

基础自测

11.f(x)=-x²+ax+-在区间［0，1］上的最大值为2，求a的值.　

解　 f(x)=-

①当∈［0，1］，即0≤a≤2时，　

f(x)_max==2,则a=3或a=-2，不合题意.　

②当＞1，即a＞2时，f(x)_max=f(1)=2a=.　

③当＜0，即a＜0时，f(x)_max=f(0)=2a=-6,

∴f(x)在区间［0，1］上的最大值为2时，a=或a=-6.

10.已知f(x)=x²+ax+3-a，若x∈［-2，2］时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.　

解　 令f(x)的最小值为g(a)，则　

(1)当-＜-2,即a＞4时，g(a)=f(-2)=7-3a≥0，得a≤，又a＞4，故此时a不存在；　

(2)当-∈［-2，2］，即-4≤a≤4时，g(a)=3-a-≥0，得-6≤a≤2，又-4≤a≤4，故-4≤a≤2；　

(3)当-＞2，即a＜-4时，g(a)=f(2)=7+a≥0，得a≥-7，又a＜-4，故-7≤a＜-4.综上，得-7≤a≤2.

9.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.　

解　 方法一　 利用二次函数一般式.设f(x)=ax²+bx+c (a≠0),　

由题意得解之得∴所求二次函数为y=-4x²+4x+7.　

方法二　 利用二次函数顶点式.　

设f(x)=a(x-m)²+n，∵f(2)=f(-1)，∴抛物线对称轴为x=即m=.　

又根据题意函数有最大值为n=8,∴y=f(x)=a(x-)²+8.∵f(2)=-1，∴a(2-)²+8=-1.　

解之，得a=-4,∴y=f(x)=-4(x-)²+8=-4x²+4x+7.　

方法三　 由f(x)+1=0的两根为x₁=2,x₂=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax²-ax-2a-1.　

又由函数有最大值y_max=8,∴.解之，得a=-4.∴所求函数解析式为　

f (x)=a2+8=-4x²²²²²2+4x+7.

8.设函数f(x)=lg(x²+ax-a-1),给出下述命题：　

①f(x)有最小值；　

②当a=0时，f(x)的值域为R；　

③当a＞0时，f(x)在区间［2，+∞)上有反函数；　

④若f(x)在区间［2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4.　

则其中正确的命题的序号是　　　　 .　

答案　 ②③