5.(2008·湖北理，13)已知函数f(x)=x²+2x+a，f(bx)=9x²-6x+2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为　　　　 .　

答案　 ?　

例1 已知f(x)=-4x²+4ax-4a-a²在区间［0，1］内有最大值-5，求a的值及函数表达式f(x).　

解 　∵f(x)=-4-4a，此抛物线顶点为.　

当≥1，即a≥2时，f(x)取最大值-4-a².令-4-a²=-5,得a²=1,a=±1＜2(舍去).　

当0＜＜1,即0＜a＜2时，x=时，f(x)取最大值为-4a.令-4a=-5,得a=∈(0,2).　

当≤0,即a≤0时，f(x)在［0，1］内递减，∴x=0时，f(x)取最大值为-4a-a²,　

令-4a-a²=-5,得a²+4a-5=0,解得a=-5,或a=1，其中-5∈(-∞，0］.　

综上所述，a=或a=-5时,f(x)在［0，1］内有最大值-5.

∴f(x)=-4x²+5x-或f(x)=-4x²-20x-5.

例2　 设二次函数f(x)=x²+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x₁和x₂满足0＜x₁＜x₂＜1.　

(1)求实数a的取值范围；　

(2)试比较f(0)f(1)-f(0)与的大小，并说明理由.　

解 方法一 (1)令g(x)=f(x)-x=x²+(a-1)x+a,　

则由题意可得,

故所求实数a的取值范围是(0，3-2).　

(2)f(0)·f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2a²,令h(a)=2a².　

∵当a＞0时，h(a)单调递增，∴当0＜a＜3-2时，0＜h(a)＜h(3-2)　

2(3-2)²=2(17-12)=2·即f(0)·f(1)-f(0)＜.　

方法二 (1)同方法一.　

(2)∵f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2a²，则由(1)知0＜a＜3-2,∴4a-1＜12-17＜0.　

又4a+1＞0,于是2a²-=(32a²-1)= (4a-1)(4a+1)＜0,　

即2a²-＜0,即2a²＜,故f(0)f(1)-f(0)=2a²＜.　

方法三　 (1)方程f(x)-x=0x²+(a-1)x+a=0

由韦达定理，得x₁+x₂=1-a,x₁x₂=a,于是0＜x₁＜x₂＜1　

故所求实数a的取值范围是(0,3-2).　

(2)依题意可设g(x)=(x-x₁)(x-x₂)，则由0＜x₁＜x₂＜1,得　

f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=g(0)g(1)=x₁x₂(1-x₁)(1-x₂)=［x₁(1-x₁)］［x₂(1-x₂)］　

＜故f(0)f(1)-f(0)＜.　

例3　 (14分)已知二次函数y=f(x)的图象与x轴交于A，B两点，且|AB|=2，它在y轴上的截距为4,又对任意的x都有f(x+1)=f(1-x).(1)求二次函数的表达式；　

(2)若二次函数的图象都在直线l:y=x+c的下方，求c的取值范围.　

解 (1)方法一　 ∵f(x+1)=f(1-x)，∴y=f(x)的对称轴为x=1，又f(x)为二次函数，　

可设f(x)=a(x-1)²+k (a≠0),又当x=0时，y=4,∴a+k=4,得f(x)=a(x-1)²-a+4,　

令f(x)=0,得a(x-1)²=a-4.　

∴x=1±

∴|AB|=2.　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分　

∵|AB|=2,∴a=-2.　

即f(x)=-2(x-1)²+6=-2x²+4x+4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　8分　

方法二　 令二次函数y=f(x)的图象与x轴交于A(x₁，0)，B(x₂，0)，(x₂＞x₁),　

∵f(x+1)=f(1-x)，|AB|=2.　

∴x₁+x₂=2，x₂-x₁=2，得x₁=1-,x₂=1+.　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分　

设二次函数f(x)=a［x-(1-)］［x-(1+)］.　

又f(0)=4,则a=-2.　

即f(x)=-2(x-1)²+6=-2x²+4x+4.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分　

(2)由条件知-2x²+4x+4＜x+c在x∈R上恒成立.　

即2x²-3x-4+c＞0对x∈R恒成立.　

?　　 Δ=9+8(4-c)＜0，得c＞,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　12分

∴c的取值范围是(，+∞).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　14分

4.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的表达式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　A.f(x)=-x²-x-1?　　　　　　 B.f(x)=-x²+x-1　　　　　 C.f(x)=x²-x-1?　　　　　 D.f(x)=x²-x+1　

答案?D?　

3.若函数f(x)=ax²+bx+c满足f(4)=f(1),那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

A.f(2)＞f(3)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.f(3)＞f(2)　

C.f(3)=f(2)　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　D.f(3)与f(2)的大小关系不能确定　

答案?C?　

2.已知函数f(x)=4x²-mx+5在区间［-2，+∞)上是增函数，则f(1)的范围是　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

A.f(1)≥25?　　　　　　 B.f(1)=25　　　　　　　　　 C.f(1)≤25?　　　　　　　 D.f(1)＞25　

答案?A?　

1.方程a²x²+ax-2=0 (|x|≤1)有解，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

A.|a|≥1?　　 　　　　B.|a|＞2　　　　　　　　 　C.|a|≤1?　　　　　　　 D.a∈R　

答案?A?　

12.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.

(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；　

(2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论

解(1)由 　从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f(3)=f(1)=0,而f(7)≠0,故f(-3)≠0.　

故函数y=f(x)是非奇非偶函数.　

(2)由(1)知y=f(x)的周期为10.　

又f(3)=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,　

故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y=f(x)在［0，2 005］上有402个解，在［-2 005，0］上有400个解，所以函数y=f(x)在［-2 005，2 005］上有802个解.

§2.5　 二次函数

基础自测

11.已知函数f(x)=x²+|x-a|+1,a∈R.　

(1)试判断f(x)的奇偶性；　

(2)若-≤a≤，求f(x)的最小值.

解 　(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)²+|-x|+1=f(x),　

此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a²+1,f(-a)=a²+2|a|+1,　

f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.　

(2)当x≤a时,f(x)=x²-x+a+1=(x-)²+a+,　

∵a≤,故函数f(x)在(-∞，a］上单调递减，　

从而函数f(x)在(-∞，a］上的最小值为f(a)=a²+1.　

当x≥a时，函数f(x)=x²+x-a+1=(x+)²-a+,　

∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞)上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的最小值为f(a)=a²+1.　

综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a²+1.

10.已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.　

解　 ∵f(x)是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.　

当x＞0时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f(x)=xlg(2+x)，　

即f(x)=-xlg(2+x) (x＞0).∴f(x)=

即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).

9.已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.

　 (1)求证：f(x)是周期函数.

　 (2)已知f(3)=2，求f(2 004).

　 　(1)证明　 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1)∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),

则f(x+2)=f

∴f(x+3)=f

f(x+6)=f

∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.

(2)解 　f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.

8.f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=　　　　 .　

答案　 -b+4