6.某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P=，Q=(a＞0).若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元，则a的最小值应为 　(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

?A.?　　　　　 　　　　　　B.5　　　　　 　　　　　　　C.±?　　　　　　　 D.-

答案 　A?　

5.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系用如图所示曲线表示.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间(小时)为　　　　 　　　　　(　 )　

?A.4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　B.4

?C.4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.5　

答案?C?　

4.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x²,x∈(0,240),若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为　　 　　　　(　 )　

?A.100台　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　B.120台

?C.150台　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.180台　

答案?C?　

3.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，下列四种说法：　

①前三年中，产量增长的速度越来越快；　

②前三年中，产量增长的速度越来越慢；　

③第三年中，产品停止生产；　

④第三年中，这种产品产量保持不变.　

其中说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　(　 )　

?A.②与③　　　 　　　　　?B.②与④　　　　　　　　　　 C.①与③?　　　　　　 　D.①与④

答案?A?　

2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，

开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)

备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为　　　　 　　　　　　　　　　　　　　(　　 )　

?A.x=15,y=12?　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 B.x=12,y=15　

?C.x=14,y=10?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 D.x=10,y=14　

答案?A?　

1.某机床在生产中所需垫片可以外购，也可自己生产，其中外购的单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元.设该厂每月所需垫片x个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(　　 )

?A.x＞1 800　　　　　　 　　　B.x＞1 600　　　　　　　　 C.x＞500　　　　　 　　D.x＞1 400　 答案?B?　

3.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模型来模拟该产品的月产量y与月份数x的关系.模拟函数可以选用二次函数f(x)或函数g(x)=ab^x+c(其中a、b、c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件.请问用以上哪个函数作为函数模型较好?并说明理由.　

解　 设f(x)=px²+qx+r(p≠0)，则有　

解得p=-0.05，q=0.35，r=0.7.　

∴f(4)=-0.05×4²+0.35×4+0.7=1.3.　

又

解得a=-0.8，b=0.5，c=1.4.　

∴g(4)=-0.8×0.5⁴+1.4=1.35.　

经比较可知，用g(x)=-0.8×(0.5)^x+1.4作为模拟函数较好.

2.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，

需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，

销售的收入函数为R(x)=5x-(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台).　

(1)把利润表示为年产量的函数；　

(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？　

(3)年产量是多少时，工厂才不亏本？　

解 (1)当x≤5时，产品能售出x百台；　

当x＞5时，只能售出5百台，　

故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)　

=

　 (2)当0≤x≤5时，L(x)=4.75x--0.5，　

当x=4.75时，L(x)_max=10.781 25万元.　

当x＞5时，L(x)=12-0.25x为减函数，　

此时L(x)＜10.75(万元).∴生产475台时利润最大.　

(3)由

得x≥4.75-=0.1(百台)或x＜48(百台).　

∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.　

1.某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.　

解　 设每个提价为x元(x≥0)，利润为y元，每天销售总额为(10+x)(100-10x)元，

进货总额为8(100-10x)元，　

显然100-10x＞0,即x＜10,　

则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)²+360 (0≤x＜10).　

当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.　

4.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是

单位产品数Q的函数，K(Q)=40Q-Q²，则总利润L(Q)的最大值是　　　 万元.　

答案　 2 500　

例1 　如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b＜a),在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.　

解 　设四边形EFGH的面积为S，　

则S_△AEH=S_△CFG=x²,

S_△BEF=S_△DGH=(a-x)(b-x)，　

∴S=ab-2［²+(a-x)(b-x)］　

=-2x²+(a+b)x=-2(x-²+　

由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.　

又0＜b＜a,∴0＜b＜,若≤b,即a≤3b时，　

则当x=时，S有最大值;　

若＞b,即a＞3b时，　

S(x)在(0,b］上是增函数，　

此时当x=b时，S有最大值为　

-2(b-)²+=ab-b²,　

综上可知，当a≤3b时，x=时，　

四边形面积S_max=,　

当a＞3b时，x=b时，四边形面积S_max=ab-b².　

例2　 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度

v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴

的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).　

(1)当t=4时，求s的值；　

(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；　

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.　

解 (1)由图象可知：

当t=4时，v=3×4=12,　

∴s=×4×12=24.　

(2)当0≤t≤10时，s=·t·3t=t²，　

当10＜t≤20时，s=×10×30+30(t-10)=30t-150；　

当20＜t≤35时，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t²+70t-550.　

综上可知s=

(3)∵t∈［0，10］时，s_max=×10²=150＜650.　

t∈(10，20］时，s_max=30×20-150=450＜650.　

∴当t∈(20，35］时，令-t²+70t-550=650.　

解得t₁=30,t₂=40,∵20＜t≤35,　

∴t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.　

例3　 (12分)1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.　

(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？　

(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？　

以下数据供计算时使用：

解 (1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，　

则y·(1+x)ⁿ=60，则当n=40时，y=30，　

即30(1+x)⁴⁰=60，∴(1+x)⁴⁰=2，　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分　

两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，　

则lg(1+x)==0.007 525，　

∴1+x≈1.017，得x=1.7%.　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　8分　

(2)依题意，y≤12.48(1+1%)¹⁰?，　

得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,　

∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　11分　

答 　每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.　　　　　　　　　　　　 　　12分