4．粒子半径大小比较。

　 试题大多以选择题形式出现，模式也较为稳定。由于原子结构的发现源于物理学中α粒子的运动实验，无疑，原子结构成了理化学科间综合的素材。预计这一知识会成为“3+X”综合测试命题的依据。　

3．已知同位素质量数和平均相对原子质量，求同位素的原子个数比；

2．分子、原子、离子核外电子数的比较；

1．关于原子的组成及各粒子的关系；　

6.(本小题满分15分)数列{a_n}满足

a₁=1,a₂=2,.

(1)求a₃,a₄,a₅,a₆;

(2)设,S_n=b₁+b₂+…+b_n,求S_n;

(3)在(2)的条件下,证明当n≥6时,.

(1)解：因为a₁=1,a₂=2,所以,

a₄=(2－|sinπ|)a₂+|sinπ|=2a₂=4,

同理a₅=3,a₆=8.(4分)

(2)解:因为,

即a_2n+1－a_2n-1=1.

所以数列{a_2n-1}是首项为1,公差为1的等差数列,因此a_2n-1=n.

又因为,

所以数列{a_2n}是首项为2,公比为2的等比数列,因此a_2n=2ⁿ.

所以,.(7分)

,①

.②

由①-②,得.

所以.(10分)

(3)证明:要证明当n≥6时,成立,只需证明当n≥6时,成立.(11分)

证法一:①当n=6时,成立.

②假设当n=k(k≥6)时不等式成立,即.

则当n=k+1时, .

由①②所述,当n≥6时,,即当n≥6时,.(15分)

证法二:令(n≥6),则.

所以当n≥6时,c_n+1＜c_n.

因此当n≥6时,.

于是当n≥6时,.

综上所述,当n≥6时,.

5. (本小题满分14分)

已知数列满足：(n∈N^*)

(Ⅰ)求证：数列为等差数列；

(Ⅱ)求数列的能项公式；

(Ⅲ)求下表中前n行所有数的和.

……

　 　　 …　

……

解：(Ⅰ)由条件a₁＝1，，，

得(2分)

∴数列为等差数列．(3分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得(4分)

∴

＝2×3×…×n＝n！(7分)

∴(8分)

(Ⅲ)∵(k＝1，2，…，n)(10分)

∴第n行各数之和(n＝1，2，…)(12分)

∴表中前n行所有数的和

S_n＝(2²－2)+(2³－2)+…+(2ⁿ⁺¹－2)

＝(2²+2³+…+2ⁿ⁺¹)－2n

＝2ⁿ⁺²－2n－4．(14分)

4.(本小题满分14分)已知数列的相邻两项，是关于x的方程(n∈N^*)的根，且.

(Ⅰ)求数列和的通项公式；

(Ⅱ)设是数列的前n项和，问是否存在常数λ，使得对任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说理理由.

解：本小题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识．考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法．以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力．

(Ⅰ)∵a_n，a_n+l是关于x的方程x²－2ⁿx+b_n＝0(n∈N*)的两根，

∴，(2分)

求数列{ a_n}的通项公式．给出如下四种解法：

解法1：由a_n+a_n+l＝2ⁿ．得

，

故数列是首项为，公比为－1的等比数列．

∴，即．(4分)

解法2：由a_n+a_n+l＝2ⁿ，两边同除以(－1)ⁿ⁺¹，

得．

令，则c_n+1－c_n＝－(－2)ⁿ．

故c_n ＝ c₁+(c₂－ c₁)+(c₃－c₂)+…+(c_n－c_n－1)

＝－1－(－2)－(－2)²－(－2)³－…－(－2)^n－1

(n ≥ 2)．

且也适合上式．

∴(n∈N*)．

∴，即．(4分)

解法3：由a_n+a_n+l＝2ⁿ，得a_n+1+a_n+2＝2ⁿ⁺¹，

两式相减得a_n+2－a_n＝2ⁿ⁺¹－2ⁿ＝2ⁿ．

当n为正奇敬时．

a_n＝a₁+(a₃－a₁)+(a₅－a₃)+…+(a_n－a_n－2)

＝1+2+2³+2⁵+…+2^n－2

(n ≥ 3)．

且a₁＝1也适合上式．

当n为正偶数时，

a_n＝a₂+(a₄－ a₂)+(a₆－ a₄)+…+(a_n－ a_n－2)

＝1+2²+2⁴+2⁶+…+2^n－2

(n ≥ 4)．

且a₂＝2¹－a₁＝1也适合上式．

∴当n∈N*时，(4分)

解法4：由a_n+a_n+l＝2ⁿ，a₁＝1．

得，

．

猜想，

下面用数学归纳法证明猜想正确．

①当n＝1时，易知猜想成立；

②假设当n＝k(k＝N*)时，猜想成立，

即．

由a_k+a_k+l＝2^k．

得，

故当n＝k+1时，猜想也成立．

由①②得，对任意n∈N*，．(4分)

∴

．(6分)

(Ⅱ)S_n＝a₁+ a₂+ a₃+…+a_n

．(8分)

要使b_n－λ S_n＞0对任意n∈N*都成立，

即(*)对任意n∈N*都成立．

①当n为正奇数时，由(*)式得

，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1＞0，

∴对任意正奇数n都成立．

当且仅当n＝1时，有最小值1．

∴λ＜1．(10分)

②当n为正偶数时，由(*)式得

，

即，

∵2ⁿ－1＞0，

∴对任意正偶数n都成立．

当且仅当n＝2时，有最小值．

∴．(12分)

综上所述，存在常数λ，使得b_n－λ S_n＞0对任意n∈N*都成立，λ的取值范围是(－∞，1)．(14分)

3.(本题满分共12分)

已知各项均为正数的数列满足,且,其中.

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)设数列的前项和为,令,其中,试比较与的大小,并加以证明.

解:(Ⅰ)因为,即

又,所以有,所以

所以数列是公比为的等比数列…………2分

由得,解得

故数列的通项公式为…………4分

　(Ⅱ) 因，所以

即数列是首项为,公比是的等比数列

所以…………6分

则

又

猜想：…………8分

①当时，,上面不等式显然成立；

②假设当时，不等式成立…………9分

当时，

综上①②对任意的均有…………11分

又

所以对任意的均有…………12分

2. (本小题满分12分)

已知数列满足：，，，数列满足，(n≥2,n∈N^*)，数列的前n项和为.

(Ⅰ)求证：数列为等比数列；

(Ⅱ)求证：数列是单调递增数列；

(Ⅲ)若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围.

解：(Ⅰ)2a_n＝ a_n+1+ a_n－1(n ≥ 2，n∈N*)　　　 ∴{ a_n }是等差数列．

又∵，　　 ∴(2分)

∵(n ≥ 2，n∈N*)，

∴

．(5分)

又∵

∴{ b_n－a_n }是以为首项，以为公比的等比数列．(6分)

(Ⅱ)∵，

∴．

当n≥2时，

又b₁＜0，∴b_n－b_n－1＞0　　　 ∴{ b_n }是单调递增数列．(9分)

(Ⅲ)∵当且仅当n＝3时，S_n取最小值． ∴

即，　　 ∴b₁∈(－47，－11)(12分)

1.(2007年浙江文19) .已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程

　　 　的两个根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．

　　 (I)求及 (n≥4)(不必证明)；

　　 (Ⅱ)求数列{}的前2n项和S_2n．

解析： (I)方程的两个根为．

当k＝1时，，所以；

当k＝2时，，所以；当k＝3时，，所以；

当k＝4时，，所以；

因为n≥4时，，所以

(Ⅱ)

＝．