摘要：已知数列的相邻两项.是关于x的方程(n∈N*)的根.且. (Ⅰ)求数列和的通项公式, (Ⅱ)设是数列的前n项和.问是否存在常数λ.使得对任意n∈N*都成立.若存在.求出λ的取值范围,若不存在.请说理理由. 解:本小题主要考查数列的通项公式.数列前n项和.不等式等基础知识．考查化归与转化.分类与整合.特殊与一般的数学思想方法．以及推理论证能力.运算求解能力和抽象概括能力． (Ⅰ)∵an.an+l是关于x的方程x2-2nx+bn＝0(n∈N*)的两根. ∴. 求数列{ an}的通项公式．给出如下四种解法: 解法1:由an+an+l＝2n．得 . 故数列是首项为.公比为-1的等比数列． ∴.即． 解法2:由an+an+l＝2n.两边同除以(-1)n+1. 得． 令.则cn+1-cn＝-(-2)n． 故cn ＝ c1+(c2- c1)+(c3-c2)+-+(cn-cn-1) ＝-1-2-(-2)3---(-2)n-1 (n ≥ 2)． 且也适合上式． ∴(n∈N*)． ∴.即． 解法3:由an+an+l＝2n.得an+1+an+2＝2n+1. 两式相减得an+2-an＝2n+1-2n＝2n． 当n为正奇敬时． an＝a1+(a3-a1)+(a5-a3)+-+(an-an-2) ＝1+2+23+25+-+2n-2 (n ≥ 3)． 且a1＝1也适合上式． 当n为正偶数时. an＝a2+(a4- a2)+(a6- a4)+-+(an- an-2) ＝1+22+24+26+-+2n-2 (n ≥ 4)． 且a2＝21-a1＝1也适合上式． ∴当n∈N*时. 解法4:由an+an+l＝2n.a1＝1． 得. ． 猜想. 下面用数学归纳法证明猜想正确． ①当n＝1时.易知猜想成立, ②假设当n＝k(k＝N*)时.猜想成立. 即． 由ak+ak+l＝2k． 得. 故当n＝k+1时.猜想也成立． 由①②得.对任意n∈N*.． ∴ ． (Ⅱ)Sn＝a1+ a2+ a3+-+an ． 要使bn-λ Sn＞0对任意n∈N*都成立. 即(*)对任意n∈N*都成立． ①当n为正奇数时.由(*)式得 . 即. ∵2n+1-1＞0. ∴对任意正奇数n都成立． 当且仅当n＝1时.有最小值1． ∴λ＜1． ②当n为正偶数时.由(*)式得 . 即. ∵2n-1＞0. ∴对任意正偶数n都成立． 当且仅当n＝2时.有最小值． ∴． 综上所述.存在常数λ.使得bn-λ Sn＞0对任意n∈N*都成立.λ的取值范围是

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