21．设函数

求证：(1)；

(2)函数在区间(0，2)内至少有一个零点；

(3)设是函数的两个零点，则

证明：(1)　

又　　 　　……………………2分

又2c=－3a－2b　 由3a＞2c＞2b　 ∴3a＞－3a－2b＞2b

∵a＞0　 ………………………………………………4分

(2)∵f(0)=c，f(2)=4a+2b+c=a－c………………………………6分

①当c＞0时，∵a＞0，∴f(0)=c＞0且

∴函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点……………………8分

②当c≤0时，∵a＞0　

∴函数f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点.

综合①②得f(x)在(0，2)内至少有一个零点…………………………10分

(3)∵x­­₁，x₂是函数f(x)的两个零点

则的两根

∴……………………………………12分

　 ………………………………14分

20．已知函数

(1)求的定义域；

(2)在函数的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；

(3)当a、b满足什么条件时，在上恒取正值。

解(1)由得，且，得，所以，即的定义域为。

(2)任取，则，所以，即，故。所以在为增函数；假设函数的图象上存在不同的两点，使直线平行于x轴，则。这与是增函数矛盾。故函数的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴。

(3)因为是增函数，所以当时，。这样只需，即当时，在上恒取正值。

19．设函数。

　 (1)求的单调区间；

　 (2)是否存在正实数，使函数的定义域为时值域为？

若存在，求 的值，若不存在，请说明理由。

18．已知函数

(1)如果关于的不等式的解集为，求实数的最大值；

(2)在(1)的条件下，对于任意实数，试比较与的大小；

(3)设函数，如果在区间上存在极小值，求实数的取值范围。

解(1)的解集为，恒成立

解得，

故的最大值为

(2)由(1)得恒成立，，

从而，即

(3)由已知可得，则

令得

①　　 若，则在上单调递增，在上无极值

②　　 若，则当时，；当时，

当时，有极小值在区间上存在极小值，

③　　 若，则当时，；当时，

当时，有极小值　 在区间上存在极小值

综上所述：当时，在区间上存在极小值

17．已知函数=∈R).

(1)当||≤时，求证：在(-1,1)内是减函数; (2)若函数在区间(-1，1)内有且只有一个极值点,求的取值范围.

16．平面区域的面积为 　　　　　　　　　.

解：平面区域 是通过平面区域 |x|+|y |1平移而得到的，而平面区域 |x|+|y |1的面积即为曲线|x|+|y |=1所围成区域的面积，其值为2，故所求面积为2.　　　　　　　　　

15．已知1+2^x+3^x·a≥0在(－∞,1上恒成立，则a的取值范围为　　　　　 .(a≥－1)

解：∵， 且函数为增函数，

∴.

14．若定义在R上的函数的反函数是，且，则　　.(2007)

解：∵的反函数为，∴，∴….

13．函数的图象恒过定点,若点在直线　 上,其中,则的最小值为_______8

12．已知函数若方程有且只有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是( C ).A. B. C. D.

解：据题意，时，是周期为1的周期函数，且当时的函数值为所得到的时的函数值，即的图像是的图像向右平移一个单位得到的. 又∵与的图像恰有两个交点，∴.