53、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知函数在处取得极值，

(1)求实数的值；

(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.

解：①

又　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

由

设

即

　　 　　　　　 …………12分

52、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知函数f (x)＝x²+2ax，g(x)＝3a²lnx+b,其中a>0．设两曲线y＝f (x)，y＝g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同．

　　 (Ⅰ)用a表示b；

　　 (Ⅱ)求证：f (x)≥g(x)，(x>0)．

51、已知函数，

(1)求函数的最小值；

(2)若，求证：．

解：(1)=，………………2分

当时，，所以当时，，

则函数在上单调递增，

所以函数的最小值；…………………………5分

(2)由(1)知，当时，，

∵，

∴，　 ①……7分

∵，

∴　　　 ②………………………10分

由①②得 …………………………12分

2. (本小题满分14分)

已知函数

(Ⅰ)若函数y=f(x)的图象切x轴于点(2，0)，求a、b的值；　　　　

(Ⅱ)设函数y=f(x) 的图象上任意一点的切线斜率为k，试求的充要条件；

(Ⅲ)若函数y=f(x)的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证。

20．(本小题满分14分)

如图，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由

B沿棱柱侧面经过棱C C₁到点A₁的最短路线长为,设这条最短路线与CC₁的交

点为D．

(1)求三棱柱ABC－A₁B₁C₁的体积；

(2)在平面A₁BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断；

(3)证明：平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．

19．(本小题满分14分)

已知函数f(x)的定义域为R，对任意的，且当时，.

(Ⅰ)求证:函数f(x)为奇函数；

(Ⅱ)求证：

(Ⅲ)求函数在区间[-n,n](n)上的最大值和最小值。

18．(本小题满分14分)

在以O为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0。

(Ⅰ)求的坐标；

(Ⅱ)求圆关于直线OB对称的圆的方程。

17．(本小题满分12分)

某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A、B两个相互独立的问题， 并且宣布：观众答对问题A可获奖金元，答对问题B可获奖金2元；先答哪个题由观众自由选择；只有第一个问题答对，才能再答第二个问题，否则终止答题．设某幸运观众答对问题A、B的概率分别为、．你觉得他应先回答哪个问题才能使获得奖金的期望较大？说明理由．

16．(本小题满分12分)

已知：复数,,且，其中、为△ABC的内角，、、为角、、所对的边．

(Ⅰ)求角的大小；

(Ⅱ) 若，求△ABC的面积．

15．(几何证明选讲选做题) 如图：PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，

并且不过圆心O，已知∠BPA=， PA=，PC=1，

则圆O的半径等于　　　　　　　　 ．