73、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)函数在区间(0，+∞)内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点()处的切线方程，并设函数

　 (1)用、、表示m；

　 (2)证明：当；

　 (3)是否存在实数a，使得若关于的不等式上恒成立？若存在，求出a的范围，若不存在说明理由。

解：(1)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5′

　 (2)证明：令

　　　　 因为递减，所以递增，因此，当；

　　　　 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的

最小值为0，因此即　　　　　　　　　　　　　 11′

　　　　 (3)是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

　　　 对任意成立的充要条件是

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14′

　　　　 令，于是对任意成立的充要条件是

　　　　 　由

　　　　 当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即　　　　　　　　　　 17′

　　　　 综上所述，当1≤a≤不等式成立．　　　　 18′

72、(江苏省泰兴市2007-2008学年第一学期高三调研)设常数，函数.

(1)令，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；

(2)求证：在上是增函数；

(3)求证：当时，恒有．

解(Ⅰ)∵，

　　　　 ∴，

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　……2分

∴，

∴，令，得，　　　　　 ……4分

列表如下：

x	(0,2)	2	(2，+∞)
g'(x)	－	0	+
g(x)		极小值g(2)

∴在处取得极小值，

即的最小值为．　　　　　　　 ……6分

，

∵，∴，又，

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知，的最小值是正数，

∴对一切，恒有，　　　　　 ……10分

从而当时，恒有，　　　　　　　　　　　 ……11分

故在上是增函数．　　　　　　　　　　　 ……12分

证明(Ⅲ)由(Ⅱ)知：在上是增函数，

　　 ∴当时，，　　　　　　　　　　　　　 ……13分

　　 又， 　　　　　　　　　　　……14分

∴，即，　　　　　　　 ……15分

∴

故当时，恒有．　　　　　　　 ……16分

71、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为。

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

(Ⅲ)问是否存在实数(是与无关的常数)，当时，恒有恒成立？若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理由。

解：(Ⅰ)方法一、 .由题设，得 ①

　②

∵，∴，∴。

由①代入②得，∴，

得∴或 ③

将代入中，得 ④

由③、④得；

方法二、同上可得：将(1)变为：代入(2)可得：，所以，则

方法三：同上可得：将(1)变为：代入(2)可得：，显然，所以

因为图象的开口向下，且有一根为x₁=1

由韦达定理得,

,所以，即，则，由得：

所以：

方法四：由得：且，由此可知

(Ⅱ)由(1)知，的判别式Δ=

∴方程有两个不等的实根，

又,∴，

∴当或时，，当时，，

∴函数的单调增区间是，∴，由知。

∵函数在区间上单调递增，∴，∴，即的取值范围是；

(Ⅲ)由，即，∵，，∴，∴或。由题意，得，∴，∴存在实数满足条件，即的最小值为。

70、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知函数(a＞0，且a≠1)，其中为常数．如果 是增函数，且存在零点(为的导函数)．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)(x₁<x₂)是函数y＝g(x)的图象上两点，( 为的导函数)，证明：．

解：(Ⅰ)因为，

所以． …………………………………………3分

因为h(x)在区间上是增函数，

所以在区间上恒成立．

若0<a<1，则lna<0，于是恒成立．

又存在正零点，故△＝(－2lna)²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．

所以a>1．

由恒成立，又存在正零点，故△＝(－2lna)²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ……………………………………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)，，于是，．…………………………9分

以下证明．　　　 (※)

(※)等价于． ……………………………………………11分

令r(x)＝xlnx₂－xlnx－x₂+x，…………………………………………………………13分

r ′(x)＝lnx₂－lnx，在(0，x₂］上，r′(x)>0，所以r(x)在(0，x₂］上为增函数．

当x₁<x₂时，r(x₁)< r(x₂)＝0，即，

从而得到证明．……………………………………………………………………15分

对于同理可证……………………………………………………………16分

所以．

评讲建议：

此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明：

要证明，只要证明>1，令，作函数h(x)＝t－1－lnt，下略．

69、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)已知函数

　 (1)求函数的单调区间；

　 (2)若≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；

　 (3)证明：

解：(1)函数的定义域为(0，+)

(2分)

当k>0时，，所以函数的单调递增区间为(0，)单调递减区是为

当k=0时，不等式恒成立，所以函数是单调递增区间为(0，+)

当k<0时，因为x>0，所以不等式恒成立，所以函数是单调递增区间为(0，+)

综上所述，当k>0时，函数的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为[，+)；当k≤0时，函数的单调递增区间为(0，+)。(5分)

(2)由(1)知k≤时，函数是增函数，而，不成立，所以k>0，由(1)可得恒成立，只需，

所以所以k≥1(9分)

(3)由(2)可得当k=1时，lnx≤x－1在(0，+)上恒成立。

ln2≤1 ln3≤2　 ln4≤3　 ……

　以上各式左右两边分别相加得

≤1+2+3+…+n=　

68、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)已知函数，设。

(Ⅰ)求F(x)的单调区间；

(Ⅱ)若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立，求实数的最小值。

(Ⅲ)是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说名理由。

解.(Ⅰ) 　　

由。

(Ⅱ)

　　 当

　　 …………………………………………4分

(Ⅲ)若的图象与

的图象恰有四个不同交点，

即有四个不同的根，亦即

有四个不同的根。

令，

则。

当变化时的变化情况如下表：

		(-1,0)	(0,1)	(1,)
的符号	+	-	+	-
的单调性	↗	↘	↗	↘

由表格知：。

画出草图和验证可知，当时，

　………………12分

67、(黄家中学高08级十二月月考)设函数R.

　 (1)若处取得极值，求常数a的值；

　 (2)若上为增函数，求a的取值范围.

[解]：(Ⅰ)

因取得极值，　 所以　 解得

经检验知当为极值点.

(Ⅱ)令

当和上为增函数，

故当上为增函数.

当上为增函数，

从而上也为增函数.

综上所述，当上为增函数.

66、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)(1)已知函数m(x)＝ax²e^－x (a＞0), 求证: 函数y＝m(x)在区间[2,+∞)上为减函数.

(2) 已知函数f(x)＝ax²+2ax, g(x)＝e^x, 若在(0, +∞)上至少存在一点x₀, 使得f(x₀)＞g(x₀)成立, 求实数a的取值范围.

解:(1) m '(x)＝ axe^－x(2－x), 而ax＞0, ∴当x＞2时, m '(x)＜0, 因此m(x)在[2,+∞)上为减函数.

(2)记m(x)＝, 则m'(x)＝(－ax²+2a)e^－x,

当x＞时, m '(x)＜0 当0＜x＜时, m '(x)＞0

故m(x)在x＝时取最大值,同时也为最大值. m(x)_max＝m()＝

依题意, 要在(0,+∞)上存在一点x₀, 使f(x₀)＞g(x₀)成立. 即使m(x₀)＞1只需m()＞1

即＞1 ∴ 　, 因此, 所求实数a的取值范围为(, +∞)

65、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)已知函数．

(Ⅰ)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；

(Ⅱ)若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且，已知a₁ = 4，求证：a_n ³ 2n + 2；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．

解：(1)，．

要使函数f(x)在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，

当在内恒成立；

当要使恒成立，则，解得，

当恒成立，

所以的取值范围为．

根据题意得：，

于是，

用数学归纳法证明如下：

当，不等式成立；

假设当时，不等式成立，即也成立，

当时，，

所以当，不等式也成立，

综上得对所有时，都有．

(3) 由(2)得，

于是，

所以，

累乘得：，

所以．

64、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)已知函数在区间(1，2 ]上是增函数，在区间(0，1)上为减函数.

(Ⅰ)试求函数的解析式；

(Ⅱ)当 x >0时，讨论方程解的个数.

解: (Ⅰ)在恒成立,

所以,.

又在恒成立,

所以 ,.　　　　　　　　　 …………………………………4分

从而有.

故,.　　　　　　　 …………………………6分

　(Ⅱ)令,

　　 则

所以在上是减函数,在上是增函数,　　　 ……………………9分

从而当时,.

所以方程在只有一个解.　　 ……………………12分