2．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1+2a2n}是
( )
A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列
C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列
解析：设{an}的公差为d，则d＝1，设cn＝a2n－1+2a2n，则cn+1＝a2n+1+2a2n+2，cn+1－cn＝a2n+1+2a2n+2－a2n－1－2a2n＝6d＝6，选择C.
答案：C
1．已知等差数列{an}满足a2+a4＝4，a3+a5＝10，则它的前10项的和S10＝
A．138 B．135
C．95 D．23
解析：由a2+a4＝4，a3+a5＝10可得d＝3，a1＝－4，所以S10＝－4×10+×3＝95.
22．(14分)(1)求证：kC＝nC；
(2)等比数列{an}中，an>0，化简：
A＝lga1－Clga2+Clga3－…+(－1)nClgan+1.
解：(1)∵左式＝k·＝
＝n·＝nC＝右式，
∴kC＝nC.
(2)由已知：an＝a1qn－1，
∴A＝lga1－C(lga1+lgq)+C(lga1+2lgq)－C(lga1+3lgq)+…+(－1)nC(lga1+nlgq)
＝lga1[1－C+C－…+(－1)nC]－lgq[C－2C+3C－…+(－1)n－1C·n]＝lga1·(1－1)n－lgq[nC－nC+nC－…+(－1)n－1·nC]
＝0－nlgq[C－C+C－…+(－1)n－1·C]
＝－nlgq(1－1)n－1＝0.
21．(12分)已知(－)n的展开式的各项系数之和等于(4－)5的展开式中的常数项，求：
(1)(－)n展开式的二项式系数和；
(2)(－)n的展开式中a－1项的二项式系数．
解：依题意，令a＝1，得(－)n展开式中各项系数和为(3－1)n＝2n，(4－)5展开式中的通项为Tr+1＝C(4)5－r(－)r＝(－1)rC45－r5－b.
若Tr+1为常数项，则＝0，即r＝2，
故常数项为T3＝(－1)2C·43·5－1＝27，
于是有2n＝27，得n＝7.
(1)(－)n展开式的二项式系数和为
2n＝27＝128.
(2)(－)7的通项为
T′r+1＝C()7－r·(－)r＝C(－1)r·37－r·a，
令＝－1，得r＝3，
∴所求a－1项的二项式系数为C＝35.
20．(12分)平面上有n个点，无三点共线，过其中每两点作直线，这些直线中无两条直线平行，且除原n个点外无三线共点，问除平面上原有n个点之外，这些直线还会有多少个新交点？
解：(图形法)先从n个点中选4点，有C种选法．如图1，设所选点为A、B、C、D.因为在每选出的4点中，两点一组分成两组，每两点确定一条直线，两条直线相交就有符合题意的一个交点，所以A、B、C、D四点两两连线，可得3个新增交点．故符合题意的交点个数为3C＝n(n－1)(n－2)(n－3)．
图1
19．(12分)若(1+2x)100＝a0+a1(x－1)+a2·(x－1)2+…+a100(x－1)100，求a1+a3+a5+…+a99.
解：令x－1＝t，则x＝t+1，于是已知恒等式可变为(2t+3)100＝a0+a1t+a2t2+…+a100t100，
又令f(t)＝(2t+3)100，
则a1+a3+a5+…+a99＝[f(1)－f(－1)]
＝[(2+3)100－(－2+3)100]＝(5100－1)．
18．(12分)有5张卡片的正反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7、8与9，将其中任三张并排组成三位数，可组成多少个数字不重复的三位数？
解：解法1：(直接法)由于三位数的百位数字不能为0，所以分两种情况：当百位数字为1时，不同的三位数有A·A＝48个；当百位数为2、3、4、5、6、7、8、9中的任意一个时，不同的三位数有AAA＝8×8×6＝384个．综上，共可组成不重复的三位数48+384＝432个．
解法2：(间接法)任取3张卡片共有C·C·C·C·A种排法，其中0在百位不能构成三位数，这样的排法有C·C·C·A种，故符合条件的三位数共有C·C·C·C·A－C·C·C·A＝432个．
17．(12分)(1)求值：C+C；
(2)解不等式：－<.
解：利用组合数定义与公式求解．
(1)由组合数定义知：解得4≤n≤5.
∵n∈N*，∴n＝4或5.
当n＝4时，原式＝C+C＝5；
当n＝5时，原式＝C+C＝16.
(2)由组合数公式，原不等式可化为
－<，
不等式两边约去，得(n－3)(n－4)－4(n－4)<2×5×4，即n2－11n－12<0，解得－1<n<12.
又∵n∈N*，且n≥5，∴n＝5,6,7,8,9,10,11.
16．(2009·株洲质检二)若(1+mx)6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6＝63，则实数m的值为__________．
解析：令x＝1，(1+m)6＝a0+a1+…+a6 ①，
令x＝0,1＝a0 ②，
①－②，得：a1+…+a6＝(1+m)6－1
∴(1+m)6－1＝63 ∴(1+m)6＝64
∴1+m＝±2 ∴m＝1或m＝－3.
答案：1或－3
15．(2009·唐山一模)(4x2－4x+1)5的展开式中，x2的系数为__________．(用数字作答)
解析：C·4+C·(－4)2·1＝180.
答案：180
