20．(12分)(2010·黄冈质检)某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现：该产品的销售单价定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上，每增加10元，年销售量将再减少1万件．设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利为w(万元)．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)求第一年的年获利w与x之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损？若赢利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？(＝1521)
解：(1)y＝.
(2)当100≤x≤200时，w＝xy－40y－(480+1520)
将y＝－x+28代入上式得：
w＝x(－x+28)－40(－x+28)－2000＝－(x－195)2－78，
当200<x≤300时，同理可得：w＝－(x－180)2－40，
故w＝.
若100≤x≤200，当x＝195时，wmax＝－78，
若200<x≤300，wmax＝－80.
故投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为78万元．
19．(12分)已知f(x)是定义在R上的函数，对于任意的实数a，b，都有f(ab)＝af(b)+bf(a)，且f(2)＝1.
(1)求f的值；
(2)求f(2－n)的解析式(n∈N*)．
解：(1)令a＝b＝1，则f(1)＝1×f(1)+1×f(1)＝2f(1)，从而f(1)＝0.由f(1)＝f＝f(2)+2f＝0，可得f＝－f(2)＝－；
(2)f(2－n)＝f(2×2－n－1)＝2f(2－n－1)+2－n－1f(2)＝2f(2－n－1)+2－n－1.设bn＝f(2－n)，则bn＝2bn+1+2－n－1.两边同乘以2n，可以得到2nbn＝2n+1bn+1+，即2n+1bn+1－2nbn＝－.故数列{2nbn}为公差为－的等差数列．由2b1＝2f＝－，可得2nbn＝－+(n－1)＝－，所以bn＝－，即f(2－n)＝－.
18．(12分)(2009·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[－1,0]，x2∈[1,2]．
(1)求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b，c)的区域；
图1
(2)证明：－10≤f(x2)≤－.
解：(1)f′(x)＝3x2+6bx+3c，依题意知，方程f′(x)＝0有两个根x1、x2，且x1∈[－1,0]，x2∈[1,2]等价于f′(－1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0.
由此得b、c满足的约束条件为
满足这些条件的点(b，c)所构成的区域为图中阴影部分．
图2
(2)由题设知f′(x2)＝3x+6bx2+3c＝0，故bx2＝－x－c，于是f(x2)＝x+3bx+3cx2＝－x+x2.
由于x2∈[1,2]，而由(1)知c≤0，
故－4+3c≤f(x2)≤－+c.
又由(1)知－2≤c≤0，所以－10≤f(x2)≤－.
17．(12分)(2010·湖北八校联考)已知函数f(x)＝ax2+2x+1(a∈R)．
(1)若f(x)的图象与x轴恰有一个公共点，求a的值；
(2)若方程f(x)＝0至少有一正根，求a的范围．
解：(1)若a＝0，则f(x)＝2x+1，f(x)的图象与x轴的交点为(－，0)，满足题意．
若a≠0，则依题意得：Δ＝4－4a＝0，即a＝1.故a＝0或1.
(2)显然a≠0.
若a<0，则由x1x2＝<0可知，方程f(x)＝0有一正一负两根，此时满足题意．
若a>0，则Δ＝0时，x＝－1，不满足题意；Δ>0时，方程有两负根，也不满足题意．故a<0.
16．给出下列四个命题：①函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0；②函数y＝2－x的反函数是y＝－log2x
(x>0)；③若函数f(x)＝lg(x2+ax－a)的值域是R，则a≤－4或a≥0；④若函数y＝f(x－1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．其中所有正确命题的序号是__________．
解析：依题意，因为f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数，所以f(－x)＝－x|x|－bx+c＝－f(x)＝－x|x|－bx－c，所以c＝0，①正确；由y＝2－x解得x＝－log2y，即函数y＝2－x的反函数为y＝－log2x，②正确；函数f(x)＝lg(x2+ax－a)的值域为R，则Δ＝a2+4a≥0，解得a≤－4或a≥0，所以③正确；因为函数y＝f(x－1)是偶函数，则图象关于y轴对称，y＝f(x)的图象由函数y＝f(x－1)的图象向左平移一个单位得到，则y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以④错．
答案：①②③
15．(2009·福州质检)对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1+x2)＝f(x1)f(x2)；
②f(x1·x2)＝f(x1)+f(x2)；
③>0；
④f()<.
当f(x)＝2x时，上述结论中正确结论的序号是__________．
解析：代特殊值验证即可．
答案：①③④
14．已知函数g(x)在(0，+∞)上是增函数，g(x)＝f(|x|)．若f(x)＝lgx，则g(lgx)>g(1)时x的取值范围是________．
解析：根据题意知g(x)＝lg|x|，又因为g(lgx)>g(1)，所以|lgx|>1，解得0<x<或x>10.
答案：(0，)∪(10，+∞)
13．已知函数f(x)＝则f＝________.
解析：f＝log3＝－2，f＝f(－2)＝2－2＝.
答案：
12．(2010·东城一模)已知函数f(x)＝x2+bx的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率为3，数列{}的前n项和为Sn，则S2009的值为 ( )
A. B.
C. D.
解析：∵函数f(x)＝x2+bx的图象的切线的斜率为f′(x)＝2x+b；∴函数f(x)＝x2+bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l的斜率为k＝2+b；∴2+b＝3，即b＝1；∴f(x)＝x2+x⇒＝＝＝－；
∴S2009＝(1－)+(－)+(－)+…+(－)＝1－＝.
答案：C
11．(2010·湖北五校联考)已知f(x)是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，如果直线y＝x+a与曲线y＝f(x)恰有两个交点，则实数a的值是 ( )
A．0 B．2k(k∈Z)
C．2k或2k－(k∈Z) D．2k或2k+(k∈Z)
解析：令a＝0，a＝－均符合题意，故选C.
