8．若椭圆+＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²＝2bx的焦点分成5?3的两段，则此椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C．2－　 　　　　　　　　　　　　　　　 D.

图2

解析：由已知|F₁F|?|FF₂|＝5?3，其中|F₂F|＝|OF₂|－|OF|＝c－，

|FF₁|＝|OF₁|+|OF|＝c+.

∴＝.∴c＝2b.

又∵a²＝b²+c²＝b²+4b²＝5b²，∴a＝b.

∴e＝＝＝.

答案：D

7．已知抛物线y²＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d₁，到直线3x－4y+9＝0的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：根据抛物线的定义可知d₁等于点P到焦点的距离，故d₁+d₂的最小值即为抛物线上的点到焦点的距离和到直线的距离之和的最小值，易知当且仅当点P为过抛物线的焦点且与已知直线垂直的直线与抛物线的交点时，d₁+d₂最小．故(d₁+d₂)_min＝.

答案：A

6．(2010·吉林白山模拟)F₁，F₂是椭圆C：+＝1的两个焦点，在C上满足PF₁⊥PF₂的点P的个数为　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．0　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．1

C．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4

解析：由+＝1，得a＝2，b＝2，c＝2.

∵b＝c＝2，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有2个交点．

∴PF₁⊥PF₂的点P的个数为2.

答案：C

5．双曲线C和椭圆4x²+y²＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，则双曲线C的方程为　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．4x²－2y²＝1　 　　　　　　　　　　　 B．2x²－y²＝1

C．4x²－2y²＝－1　 　　　　　　　　　 D．2x²－y²＝－1

解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)双曲线的焦点坐标为(0，±)，又＝，

∴b＝，a＝.即双曲线方程为4x²－2y²＝－1，故选C.

答案：C

4．椭圆+＝1的左、右焦点是F₁、F₂，P是椭圆上一点，若|PF₁|＝3|PF₂|，则P点到左准线的距离是　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．4

C．6　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．8

解析：a＝＝2，b²＝3，c＝＝1.

因为|PF₁|+|PF₂|＝2a＝4，

图1

|PF₁|＝3|PF₂|

所以|PF₂|＝1

如图1所示，P点是右顶点；

左准线x＝－＝－4，故P到左准线距离是：2－(－4)＝6.

答案：C

3．一动圆圆心在抛物线x²＝4y上，动圆过抛物线的焦点F，并且恒与直线l相切，则直线l的方程为　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．x＝1　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．y＝－1

C．x＝　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．y＝－

解析：利用抛物线定义知选B.

答案：B

2．抛物线y²＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C．|a|　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．－

解析：由抛物线定义及标准方程知，选B.

答案：B

1．方程2x²+ky²＝1表示的曲线是长轴在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　)

A．(0，+∞)　　　　B．(2，+∞)

C．(0,2)　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(0，)

解析：方程为+＝1，由此>即0<k<2.

答案：C

22．(14分)(2009·南昌调研)设f(x)的定义域为(0，+∞)，对于任意正实数m、n恒有f(m·n)＝f(m)+f(n)且当x>1时，f(x)>0，f()＝－1.

(1)求f(2)的值；

(2)求证：f(x)在(0，+∞)上是增函数；

(3)解关于x的不等式f(x)≥2+f()，其中p>－1.

解：(1)令m＝n＝1得：f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.

而f(1)＝f(2·)＝f(2)+f()＝f(2)－1＝0，

∴f(2)＝1.

(2)设0<x₁<x₂，则>1，由已知得f()>0.

∵f(1)＝f(x₁·)＝f(x₁)+f()＝0，

∴f()＝－f(x₁)．

而f()＝f(x₂)+f()，∴f()＝f(x₂)－f(x₁)，

由f()>0得f(x₂)－f(x₁)>0，f(x₂)>f(x₁)，

∴f(x)在(0，+∞)上是增函数．

(3)由f(2)＝1得，2＝f(2)+f(2)＝f(4)，又f(x)≥2+f()，∴不等式化为f(x)≥f()，由(2)已证f(x)在区间(0，+∞)上是增函数可得：，

①当p>0时，由>0得x>4，

∴不等式x≥可化为x²－4x－4p≥0.

这时，Δ＝16+16p>0，不等式x²－4x－4p≥0的解为x≥2+2或x≤2－2.

又x>4，∴不等式组的解为x≥2+2.

②当p＝0时，不等式>0不成立，

∴不等式组的解集为Ø.

③当即－1<p<0时，由>0得x<4，

∴不等式x≥可化为x²－4x－4p≤0.

不等式组的解为2－2≤x≤2+2.

综上可得：

当p>0时，原不等式的解集是{x|x≥2+2}，

当p＝0时，原不等式的解集是Ø，

当－1<p<0时，原不等式的解集是{x|2－2≤x≤2+2}．

21．(12分)(2010·黄冈检测)设函数f_n(x)＝1+x－+－…+，n∈N^*.

(1)讨论函数f₂(x)的单调性；

(2)判断方程f_n(x)＝0的实数解的个数，并加以证明．

解：(1)f₂(x)＝1+x－+，f₂′(x)＝1－x+x²＝(x－)²+>0，故f₂(x)在(－∞，+∞)上单调递增．

(2)f₁(x)＝1+x，故f₁(x)＝0有实数解x＝－1；

f₂(0)＝1>0，f₂(－1)＝－+<0，

∵f₂(x)在(－∞，+∞)上单调递增，

∴f₂(x)＝0在(－1,0)上有唯一实数解，从而f₂(x)＝0在(－∞，+∞)上有唯一实数解．

由此猜测f_n(x)＝0在(－∞，+∞)上有唯一实数解，证明如下：

当n≥2时，由f_n(x)＝1+x－+－…+，

得f_n′(x)＝1－x+x²－…－x^2n－3+x^2n－2.

若x＝－1，则f_n′(－1)＝2n－1>0；若x＝0，则f_n′(0)＝1>0.

当x≠0且x≠－1时，f_n′(x)＝，

当x<－1时，x+1<0，x^2n－1+1<0，f_n′(x)>0，

当x>－1时且x≠0，x+1>0，x^2n－1+1>0，f_n′(x)>0.

总之，f_n′(x)>0，故f_n(x)在(－∞，+∞)上单调递增．

又f_n(0)＝1>0，f_n(－1)＝1－1－－－…－－<0，所以当n≥2时，f_n(x)＝0在(－1,0)上有唯一实数解，从而f_n(x)＝0在(－∞，+∞)上有唯一实数解．

综上可知，f_n(x)＝0在(－∞，+∞)上有唯一实数解．