摘要：19．已知f(x)是定义在R上的函数.对于任意的实数a.b.都有f(ab)＝af(b)+bf(a).且f(2)＝1. (1)求f的值, (2)求f(2-n)的解析式(n∈N*)． 解:(1)令a＝b＝1.则f(1)＝1×f(1)+1×f(1)＝2f(1).从而f(1)＝0.由f(1)＝f＝f(2)+2f＝0.可得f＝-f(2)＝-, (2)f(2-n)＝f(2×2-n-1)＝2f(2-n-1)+2-n-1f(2)＝2f(2-n-1)+2-n-1.设bn＝f(2-n).则bn＝2bn+1+2-n-1.两边同乘以2n.可以得到2nbn＝2n+1bn+1+.即2n+1bn+1-2nbn＝-.故数列{2nbn}为公差为-的等差数列．由2b1＝2f＝-.可得2nbn＝-+(n-1)＝-.所以bn＝-.即f(2-n)＝-.

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