定义：可以判断真假的语句叫命题。正确的叫真命题，错误的叫假命题。

　 　如：①②是真命题，③是假命题

反例：3是12的约数吗？　 　x>5　　 　　　　都不是命题

　　 　不涉及真假(问题)　　　 无法判断真假

上述①②③是简单命题。　 这种含有变量的语句叫开语句(条件命题)。

例1、解不等式　

解：原不等式可化为：① 和②　

解①：　 解②：

∴原不等式的解集是{x| }∪{x|}={x|或}

例2、解不等式　

解：原不等式可化为：　

　　 ∴ 　　　∴原不等式的解集是{x| }

或解：原不等式化为　 (略)

例3、解关于x的不等式　 　(aÎR)

解：原不等式可化为：

当 a+1>0 即a>-1时　 -(a+1)<2x+3<a+1　　

当 a+1≤0即 a≤-1时　 解集为Ø

∴当a>-1时 原不等式的解集是 {x|}；

当a≤-1时 解集为Ø

例4、解不等式　

解一：原不等式可化为：

解二： ∵ 　∴ Ⅰ： Ⅱ：

(下略)

解三：原不等式解集等价于下面两个不等式解集的并集：2≤1-4x<7

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2≤-(1-4x)<7

(下略)

例5、解不等式　 |x+2| + |1-x|<x-4

解：原不等式即为 |x+2| + |x-1|<x-4

　 Ⅰ： 　　　Ø

　 Ⅱ： 　　　　-1<x<1　

　 Ⅲ： 　　　　1≤x<3

　　 ∴ 原不等式的解集为：{x|-1<x<3}

例6、解下列不等式：

① 3-6x-2x²<0

　 解：整理得 2x²+6x-3<0用求根公式求根得解集{x|}

② (x-1)(3-x)<x(x+1)+1

　 解：整理得 2x²-3x+4>0　 ∵　 ∴不等式解集为 R

③

　 解：移项，通分，整理得　 　不等式解集为{x|x≤-4或x>}

　 或解：取并集 　　　

④ 0≤x²-2x-3<5

　 解：原不等式的解集为下面不等式组的解集

∴原不等式的解集为 {x|-2<x≤-1 或 3≤x<4}

例7、已知U=R且 A={x|x²-5x-6<0}　 B={x| |x-2|≥1} 求：

1)A∩B　 2)A∪B　 3)(C_uA)∩(C_uB)

解：A={x|-1<x<6}　　 B={x|x≤1或x≥3}

　　 A∩B={x|-1<x≤1或3≤x<6}　　 A∪B=R

　　 C_uA={x|x≤-1或x≥6}　 C_uB={x|1<x<3}

　　 ∴(C_uA)∩(C_uB)= {x|x≤-1或x≥6}∪{x|1<x<3}=Ø

　　 也可求　C_u(A∪B)= Ø

例8、解关于x的不等式　 (1-a)x²+4ax-(4a+1)>0　　 (aÎR)

解：1 当1-a=0即 a=1时 原不等式化为 4x-5>0　 x>

　　 2 当 1-a>0即a<1时　 ∵=4(3a+1)

　　　 (1)当 即时 >0

　　　　 此时原不等式的解集是

　　　 (2)当a=时 =0 原不等式化为 4x²-4x+1>0 即 (2x-1)²>0

　　　　 此时原不等式的解集是 {xÎR|x¹}

　　　 (3)当a<时<0 且 1-a>0 此时原不等式的解集为R

　　 3 当1-a<0即a>1时 原不等式可化为 (a-1)x²-4ax+(4a+1)<0

　　　 这样a-1>0这时=4(3a+1)>0　　 用求根公式求得：

此时原不等式的解集为：

综上可得：当a<-时原不等式解集为R

当a=-时原不等式解集为{xÎR|x¹}

当时原不等式解集为

当a=1时原不等式解集为{x| x>}

当a>1时原不等式解集为

例9、已知A={x| |x-a|≤1}　 B={x|}且A∩B=Ø求a的范围。

解：化简A={a-1≤x≤a+1}

　 由　 　≥0　　　　 　介绍“标根法”

　　　　 B={x|-5≤x<3 或 x≥6}

要使A∩B=Ø必须满足 a+1<-5 或 　即a<-6或4≤a<5

∴ 满足条件的a的范围是a<-6或4≤a<5

例10、(1)若不等式 (1-a)x²-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}, 求a的值；

(2)若-3<x<1时 (1-a)x²-4x+6>0成立, 求a的取值范围。

解：(1)由题设可知 1-a<0 　

(2)设 y=(1-a)x²-4x+6

　1^。当1-a>0即a<1时 抛物线开口向上　 =24a-8

当a<时<0 解集为R 　-3<x<1自然成立

当<a<1时>0 此时对称轴 x=-而x=1时y=3-a>0

由图象可知： -3<x<1时都有y>0

当a=时 这时对x¹3都有y>0　 故-3<x<1时 不等式成立

∴ a<1时 若-3<x<1不等式(1-a)x²-4x+6>0都成立

2^。当a=1时不等式为-4x+6>0对于-3<x<1时　 2<-4x+6<18

即-4x+6>0成立

3^。当a>1时1-a<0 抛物线开口向下 要使-3<x<1时(1-a)x²-4x+6>0成立

必须 　　　

综上：若-3<x<1时(1-a)x²-4x+6>0成立，则a的取值范围是a≤3

1) 方程有两个正根的充要条件；

2) 方程至少有一个正根的充要条件。

　 解：1) 方程(1-a)x²+(a+2)x-4=0有两个实根的充要条件是：

即：　 Û

即： a≥10或a≤2且a¹1

　 设此时方程两根为x₁，x₂　 ∴有两正根的充要条件是：

　　 Û 　Þ 1<a≤2或a≥10 即为所求。

　2) 从1)知1<a≤2或a≥10方程有两个正根

　 当a=1时, 方程化为 3x-4=0有一个正根x=

　 方程有一正、一负根的充要条件是：

　　 　Û　 　Û a<1

　综上：方程(1-a)x²+(a+2)x-4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10。

4．ab<0是 |a+b|<|a-b| 的必要而不充分条件。

　 解：是假命题。|a-b|>|a+b|≥0 Û (a-b)²>(a+b)² Û a²-2ab+b²> a²+2ab+b²

Û 4ab<0 Û ab<0　　 ∴(ab<0是 |a+b|<|a-b| 的充要条件)

3．内错角相等是两直线平行的充分条件。

　 解：是真命题。

2．x²=4x+5是 x的必要条件。

　 解：是假命题。{x| x²=4x+5}={-1,5}　 {x| x}={0,5}

1．(x-2)(x+3)=0是(x-2)²+(y+3)²=0的充要条件。

　 解：是假命题。反例；若x=2, y¹-3

4．p：0<m<　 q：方程mx²-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根

　 则p是q的 充要条件 。

3．p：a与b都是奇数　 q：a+b是偶数　 则p是q的 充分不必要条件 。

2．p：{x|x>-2或x<3}　 q：{x|x²-x-6<0}　 则p是q的 必要而不充分条件 。