10、已知函数的图象按向量平移后便得到函数的图象，数列满足(n≥2，nÎN^*)．

　 (Ⅰ)若，数列满足，求证：数列是等差数列；

　 (Ⅱ)若，数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由；

　 (Ⅲ)若，试证明：．

解:，则(n≥2，nÎN^*)．

　 (Ⅰ)，，

∴(n≥2，nÎN^*)．∴数列是等差数列．

　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，数列是等差数列，首项，公差为1，

则其通项公式，

由得，故．

构造函数，则．

函数在区间， 上为减函数．

∴当时，，且在上递减，故当时，取最小值；

当 时，，且在上递减，

故当时，取最大值．故存在．

(Ⅲ)先用数学归纳法证明，再证明．

①当n＝1时，成立，

②假设n＝k时命题成立，即，

则当n＝k+1时，，，则，故当n＝k+1时也成立．

综合①②有，命题对任意nÎN^*时成立，即．下证．

∵，∴．综上所述：．

[总结点评]本题集数列、向量、函数、导数、不等式于一体，充分展示了《考试大纲》“构造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样化，体现思维的发散性”的题目，这需要我们加强这一方面的训练，需要从多层次、多角度去思考问题．

9、已知函数的定义域为，且同时满足：对任意，总有，

； 若，且，则有．

(1)求的值；

(2)试求的最大值；

(3)设数列的前项和为，且满足，

　　 求证：．

解：(1)令，则，又由题意，有

　 (2)任取 且，则0<　　

　　　　　　　 的最大值为　　　　　　

　　　　 (3)由　

　　　　　　　 又由　

　　　　　　 数列为首项为1，公比为的等比数列， 　

　　　　　　 当时，，不等式成立，

　　　　　　 当时，

　　　　　 ，　

　　　　　　 　不等式成立

　　　　　　　 假设时，不等式成立。

　　　　　　　 即

　　　　　　　 则 当时，

　　　　　 即　 时，不等式成立

　　　　 故　 对 ，原不等式成立。　　　　　　　　　

8、已知数列的前n项和为，点在曲线上且.

　 (1)求数列的通项公式；

　 (2)数列的前n项和为且满足，设定的值使得数列是等差数列；

　 (3)求证：.

解：(1)

∴　 ∴

∴数列是等差数列，首项公差d=4

∴　　 ∴

∵　 ∴

　(2)由

得

∴　 ∴

∴

若为等差数列，则

∴

(3)

∴

∴

7、已知数列的前n项和满足：(a为常数，且)．

　(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)设，若数列为等比数列，求a的值；

(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下，设，数列的前n项和为T_n .

求证：．

解：(Ⅰ)∴

当时，

，即是等比数列． ∴；　　　　

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，若为等比数列，

　则有而

故，解得，　　

再将代入得成立，

所以．　　　

(III)证明：由(Ⅱ)知，所以

，　　

由得

所以，　　　

从而

．

即．　　　　　　　　　　　　　　　　

6、已知二次函数同时满足：①不等式≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立，设数列{}的前项和．

(1)求函数的表达式；

(2) 设各项均不为0的数列{}中，所有满足的整数的个数称为这个数列{}的变号数，令(),求数列{}的变号数；　

(3)设数列{}满足：，试探究数列{}是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．

解(1)∵不等式≤0的解集有且只有一个元素

∴　解得或

当时函数在递增，不满足条件②

当时函数在(0，2)上递减，满足条件②

综上得，即.

(2)由(1)知

当时，

当≥2时＝＝

∴

由题设可得

∵，，∴，都满足

∵当≥3时，

即当≥3时，数列{}递增，

∵，由，可知满足

∴数列{}的变号数为3.

(3)∵＝,　由(2)可得：

＝＝

∵当时数列{}递增，∴当时，最小, 又∵，

∴数列{}存在最小项

(或∵＝,由(2)可得：

＝

对于函数　∵

∴函数在上为增函数，∴当时数列{}递增，

∴当时，最小，

又∵，　∴数列{}存在最小项

5、数列满足．

(Ⅰ)求数列{}的通项公式；

(Ⅱ)设数列{}的前项和为，证明．

解：(Ⅰ)方法一：，

所以．　　　　　　　　　　　　　　　

所以是首项为，公差为的等差数列． 　　　　　　　　　　

所以，所以．　　　　　　　　　　　　　　　

方法二：，，，猜测．　　　　　　

下用数学归纳法进行证明．

①当时，由题目已知可知，命题成立；　　　

②假设当()时成立，即，那么

当，，

也就是说，当时命题也成立．　　　　　　　　　　　　　

综上所述，数列的通项公式为．　　　　　　　

(Ⅱ)　设　　　　　　　　　　　　　　　

则　　　　　　　　　　　　　　

函数为上的减函数，所以，即

从而 　　　　　　　

4、已知在上有定义，且满足时有

若数列满足 。

　 (1)求的值，并证明在上为奇函数；　　

　 (2)探索 的关系式，并求的表达式；

(3)是否存在自然数m，使得对于任意的，有

恒成立？若存在，求出m的最小值，若不存在，

请说明理由。

3、已知点列满足：，其中，又已知，.

(1)若，求的表达式；

(2)已知点B，记，且成立，试求a的取值范围；

(3)设(2)中的数列的前n项和为，试求： 。

解：(1)∵，，∴，

∴，∴，

∴.

　 (2)∵，∴.

∵

∴要使成立，只要，即

∴为所求.

(3)∵ 　　　　 ，

∴

∴ 　　　　　 　　　 ∵，∴，∴

∴

2、设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上．

(Ⅰ)求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；

(Ⅱ)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为()，(，)，(，，)，(，，，)；()，(，)，(，，)，(，，，)；()，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；

(Ⅲ)设为数列的前项积，是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：(Ⅰ)因为点在函数的图象上，

故，所以．

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以．

由此猜想：．

用数学归纳法证明如下：

① 当时，有上面的求解知，猜想成立．

② 假设时猜想成立，即成立，

则当时，注意到，

故，．

两式相减，得，所以．

由归纳假设得，，

故．

这说明时，猜想也成立．

由①②知，对一切，成立 ．

(Ⅱ)因为()，所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)；(22)，(24，26)，(28，30，32)，(34，36，38，40)；(42)，…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，　 故 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

所以 ．又=22，所以=2010.

(Ⅲ)因为，故，

所以．

又，

故对一切都成立，就是

对一切都成立．

设，则只需即可．

由于，

所以，故是单调递减，于是．

令，即 ，解得，或．

综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数存在，的取值范围是

．

1、已知函数的图象经过点和，记

(1)求数列的通项公式；

(2)设，若，求的最小值；

(3)求使不等式对一切均成立的最大实数.

解：(1)由题意得，解得，

(2)由(1)得， 　　　　①

　　　　　　　　　　　　　 ②　　

①-②得

.

，

设，则由

得随的增大而减小时，

又恒成立，

　　　 (3)由题意得恒成立

　 记，则

是随的增大而增大　

的最小值为，，即.