摘要：设数列的前项和为.对一切.点都在函数 的图象上． (Ⅰ)求的值.猜想的表达式.并用数学归纳法证明, (Ⅱ)将数列依次按1项.2项.3项.4项循环地分为().(.).(..).(...),().(.).(..).(...),().-.分别计算各个括号内各数之和.设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为.求的值, (Ⅲ)设为数列的前项积.是否存在实数.使得不等式对一切都成立?若存在.求出的取值范围,若不存在.请说明理由． 解:(Ⅰ)因为点在函数的图象上. 故.所以． 令.得.所以, 令.得.所以, 令.得.所以． 由此猜想:． 用数学归纳法证明如下: ① 当时.有上面的求解知.猜想成立． ② 假设时猜想成立.即成立. 则当时.注意到. 故.． 两式相减.得.所以． 由归纳假设得.. 故． 这说明时.猜想也成立． 由①②知.对一切.成立 ． (Ⅱ)因为().所以数列依次按1项.2项.3项.4项循环地分为....-. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号. 故 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知.由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列.且公差为20. 同理.由各组第4个括号中所有第2个数.所有第3个数.所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列.且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列.且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68. 所以 ．又=22.所以=2010. (Ⅲ)因为.故. 所以． 又. 故对一切都成立.就是 对一切都成立． 设.则只需即可． 由于. 所以.故是单调递减.于是． 令.即 .解得.或． 综上所述.使得所给不等式对一切都成立的实数存在.的取值范围是 ．

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