摘要：对于顶点在原点的抛物线.给出下列条件: ①焦点在y轴上,②焦点在x轴上,③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6,④抛物线的通径的长为5,⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线.垂足坐标为(2.1). 能使这抛物线方程为y2=10x的条件是 .(要求填写合适条件的序号) 解析:由抛物线方程y2=10x可知②⑤满足条件. 答案:②⑤ ●典例剖析 [例1] 求满足下列条件的抛物线的标准方程.并求对应抛物线的准线方程: , (2)焦点在直线x-2y-4=0上. 剖析:从方程形式看.求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p,从实际分析.一般需确定p和确定开口方向两个条件.否则.应展开相应的讨论. 解:(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p＞0). ∵过点. ∴4=-2p(-3)或9=2p·2. ∴p=或p=. ∴所求的抛物线方程为y2=-x或x2=y.前者的准线方程是x=.后者的准线方程是y=-. (2)令x=0得y=-2.令y=0得x=4. ∴抛物线的焦点为. 当焦点为(4.0)时.=4. ∴p=8.此时抛物线方程y2=16x, 焦点为时.=2. ∴p=4.此时抛物线方程为x2=-8y. ∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y.对应的准线方程分别是x=-4.y=2. 评述:这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论.先入为主.设定一种形式的标准方程后求解.以致失去一解. [例2]如下图所示.直线l1和l2相交于点M.l1⊥l2.点N∈l1.以A.B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形.|AM|=.|AN|=3.且|NB|=6.建立适当的坐标系.求曲线段C的方程. 剖析:由题意所求曲线段是抛物线的一部分.求曲线方程需建立适当的直角坐标系.设出抛物线方程.由条件求出待定系数即可.求出曲线方程后要标注x.y的取值范围. 解:以直线l1为x轴.线段MN的垂直平分线为y轴.建立直角坐标系.由条件可知.曲线段C是以点N为焦点.以l2为准线的抛物线的一段.其中A.B分别为曲线段C的端点. 设曲线段C的方程为y2=2px(p>0)(xA≤x≤xB.y>0).其中xA.xB为A.B的横坐标.p=|MN|. 所以M(-.0) .N(.0). 由|AM|=.|AN|=3.得 (xA+)2+2pxA=17. ① (xA-)2+2pxA=9. ② ①②联立解得xA=.代入①式.并由p>0. 或 解得 p=4. p=2. xA=1 xA=2. 因为△AMN为锐角三角形.所以>xA. 所以 故舍去 P=2. P=4. xA=2. xA=1. 由点B在曲线段C上.得xB=|BN|-=4. 综上.曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4.y>0). 评述:本题体现了坐标法的基本思路.考查了定义法.待定系数法求曲线方程的步骤.综合考查了学生分析问题.解决问题的能力. [例3] 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F.经过点F的直线交抛物线于A.B两点.点C在抛物线的准线上.且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O. 剖析:证直线AC经过原点O.即证O.A.C三点共线.为此只需证kOC=kOA.本题也可结合图形特点.由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决. 证法一:设AB:x=my+.代入y2=2px.得y2-2pmy-P2=0. 由韦达定理.得yAyB=-p2. 即yB=-. ∵BC∥x轴.且C在准线x=-上. ∴C(-.yB). 则kOC====kOA. 故直线AC经过原点O. 证法二:如下图.记准线l与x轴的交点为E.过A作AD⊥l.垂足为D. 则AD∥EF∥BC.连结AC交EF于点N.则==.=. ∵|AF|=|AD|.|BF|=|BC|. ∴|EN|===|NF|. 即N是EF的中点.从而点N与点O重合.故直线AC经过原点O. 评述:本题的“几何味 特别浓.这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中.关键是得到yA·yB=-p2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识.这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视.也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目. 思考讨论 本题也可用平面向量来证明.读者不妨一试. ●闯关训练 夯实基础

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