摘要：点P在椭圆+=1上.它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.则点P的横坐标是 . 解析:利用第二定义. 答案: ●典例剖析 [例1] 已知F1为椭圆的左焦点.A.B分别为椭圆的右顶点和上顶点.P为椭圆上的点.当PF1⊥F1A.PO∥AB(O为椭圆中心)时.求椭圆的离心率. 剖析:求椭圆的离心率.即求.只需求a.c的值或a.c用同一个量表示.本题没有具体数值.因此只需把a.c用同一量表示.由PF1⊥F1A.PO∥AB易得b=c.a=b. 解:设椭圆方程为+=1(a＞b＞0).F1(-c.0).c2=a2-b2. 则P(-c.b).即P(-c.). ∵AB∥PO.∴kAB=kOP. 即-=.∴b=c. 又∵a==b. ∴e===. 评述:由题意准确画出图形.利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键. [例2] 如下图.设E:+=1(a＞b＞0)的焦点为F1与F2.且P∈E.∠F1PF2=2θ. 求证:△PF1F2的面积S=b2tanθ. 剖析:有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题.设|PF1|=r1.|PF2|=r2.则S=r1r2sin2θ.若能消去r1r2.问题即获解决. 证明:设|PF1|=r1.|PF2|=r2. 则S=r1r2sin2θ.又|F1F2|=2c. 由余弦定理有 (2c)2=r12+r22-2r1r2cos2θ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ=(2a)2-2r1r2(1+cos2θ). 于是2r1r2(1+cos2θ)=4a2-4c2=4b2. 所以r1r2=. 这样即有S=·sin2θ=b2=b2tanθ. 评述:解与△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的问题.常用正弦定理或余弦定理.并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决. 特别提示 我们设想点P在E上由A向B运动.由于△PF1F2的底边F1F2为定长.而高逐渐变大.故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数.所以tanθ逐渐变大.因2θ为三角形内角.故2θ∈.θ∈(0.).这样.θ也逐渐变大.当P运动到B时.∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题.读者不妨一试. [例3] 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A.B两点.M为AB的中点.直线OM(O为原点)的斜率为.且OA⊥OB.求椭圆的方程. 剖析:欲求椭圆方程.需求a.b.为此需要得到关于a.b的两个方程.由OM的斜率为.OA⊥OB.易得a.b的两个方程. 解:设A(x1.y1).B(x2.y2).M(.). ∴(a+b)x2-2bx+b-1=0. 由 x+y=1. ax2+by2=1. ∴=.=1-=. ∴M(.). ∵kOM=.∴b=a. ① ∵OA⊥OB.∴·=-1. ∴x1x2+y1y2=0. ∵x1x2=.y1y2=(1-x1)(1-x2). ∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2 =1-+=. ∴+=0. ∴a+b=2. ② 由①②得a=2(-1).b=2(-1). ∴所求方程为2(-1)x2+2(-1)y2=1. 评述:直线与椭圆相交的问题.通常采取设而不求.即设出A(x1.y1).B(x2.y2).但不是真的求出x1.y1.x2.y2.而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键. ●闯关训练 夯实基础

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