摘要：若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数.则m的取值范围是 . 解析:f′(x)=3x2+2x+m.∵f(x)在R上是单调递增函数, ∴f′(x)＞0在R上恒成立. 即3x2+2x+m＞0. 由Δ=4-4×3m＜0,得m＞. 答案:m＞ ●典例剖析 [例1] 求函数y=的值域. 剖析:求函数值域是中学数学中的难点.一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解.也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂.可采用求导的方法求解. 解:函数的定义域由求得x≥-2. 求导得y′=- =. 由y′＞0得2＞, 即解得x＞-2,即函数y=-在上是增函数. 又此函数在x=-2处连续,∴在［-2,+∞)上是增函数.而f(-2)=-1. ∴函数y=-的值域是［-1,+∞). 评述:函数y=f(x)在(a,b)上为单调函数.当在［a,b］上连续时.y=f(x)在［a,b］上也是单调函数. [例2] 已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值.且f(1)=-1, (1)试求常数a.b.c的值, (2)试判断x=±1是函数的极大值还是极小值.并说明理由. 剖析:考查函数f(x)是实数域上的可导函数.可先求导确定可能的极值点.再通过极值点与导数的关系.即极值点必为f′(x)=0的根建立起由极值点x=±1所确定的相关等式.运用待定系数法确定a.b.c的值. (1)解法一:f′(x)=3ax2+2bx+c,∵x=±1是函数的极值点, ∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根. 由根与系数的关系知 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1. ③ 由①②③解得a=,b=0,c=-. 解法二:由f′(1)=f′(-1)=0, 得3a+2b+c=0, ① 3a-2b+c=0. ② 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1. ③ 由①②③解得a=,b=0,c=-. (2)解:f(x)=x3-x,∴f′(x)= x2-= (x-1)(x+1). 当x＜-1或x＞1时,f′(x)＞0;当-1＜x＜1时.f′(x)＜0. ∴x=-1时.f(x)有极大值,x=1时,f(x)有极小值. [例3] 已知函数f(x)=2ax-,x∈(0,1］. (1)若f(x)在x∈(0,1］上是增函数.求a的取值范围, (2)求f(x)在区间(0,1］上的最大值. 剖析:(1)要使f(x)在(0,1］上为增函数.需f′(x)＞0,x∈(0,1). (2)利用函数的单调性求最大值. 解:(1)由已知可得f′(x)=2a+,∵f(x)在(0,1)上是增函数.∴f′(x)＞0,即a＞-, x∈(0,1］.∴a＞-1. 当a=-1时.f′(x)=-2+对x∈(0,1)也有f′(x)＞0.满足f(x)在(0,1］上为增函数. ∴a≥-1. 知,当a≥-1时,f(x)在(0,1］上为增函数, ∴［f(x)］max=f(1)=2a-1. 当a＜-1时.令f′(x)=0得x=, ∵0＜＜1,∴0＜x＜时,f′(x)＞0; ＜x≤1时.f′(x)＜0.∴f(x)在(0, )上是增函数.在(,1]减函数. ∴［f(x)］max=f ()=-3. 评述:求参数的取值范围.凡涉及函数的单调性.最值问题时.用导数的知识解决较简单. 深化拓展 (1)也可用函数单调性的定义求解. 思考讨论 函数f(x)在区间D上的极值与最值有什么联系? ●闯关训练 夯实基础

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