2．判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.

[精典范例]

[例1]在ABC中，求证：

(1)

(2)

分析：

[解]

(1)根据正弦定理，可设

　　 　= 　= 　= k

显然 k0，所以

　左边=

　　　　　 ==右边

(2)根据余弦定理的推论，

右边=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)

=a+b+c=左边

[例2]在中，已知acosA = bcosB用两种方法判断该三角形的形状.

分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。

[解]方法1^o(余弦定理)得

a=b

c=

是等腰三角形或直角三角形.

方法2^o(正弦定理)得

sinAcosA=sinBcosB,

sin2A=sin2B,

2A=2B,或2A+2B=180

A=B或A+B=90

是等腰三角形或直角三角形.

点评: 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。

[例3]在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：

(1)　　　 AB的长

(2)　　　 四边形ABCD的面积

[解](1)因为BCD=75，ACB=45，

所以ACD=30 ，又因为BDC=45，

所以DAC=180-(75+ 45+ 30)=30，

所以， AD=DC=

在BCD中，CBD=180-(75+ 45)=60，所以= 　，

BD = =　

在ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcos75= 5,

所以， AB=

(3)　　　 S=ADBDsin75

=

同理， S=

所以四边形ABCD的面积S=

追踪训练一

1．余弦定理：

(1)，，.

(2) 变形：，，

3．进一步运用余弦定理解斜三角形．

[课堂互动]

自学评价

2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；

1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；

3.用余弦定理证明：在△ABC中，　

(1)a＝bcosC+ccosB；　

(2)b＝ccosA+acosC；

(3)c＝acosB+bcosA．

2．在△ABC中，设，，且｜｜＝2，｜｜＝，·＝－，求AB的长．

略解：

1．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于(　 B　)

A．　 B．　 C． D．

3. 在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝60°，试证明此三角形为锐角三角形．

[选修延伸]

[例4]在△ABC中，设，且，请判断三角形的形状。

[解]由,即而，得

而由得

而，

∴三角形为等边三角形。

追踪训练二

2.如图，长7m的梯子BC靠在斜壁上，梯脚与壁基相距1．5m，梯顶在沿着壁向上6m的地方，求壁面和地面所成的角α(精确到0.1°)．

略解：