(与学生共同梳理.总结梯形的判定方法及添加辅助线的解决有关梯形问题的常用方法) 等腰梯形的判定方法: (1)两腰相等 (2)同底上的两个角相等梯形的画法:画出符合条件的梯形,通常先要“分析 ——青夏教育精英家教网—

(与学生共同梳理、总结梯形的判定方法及添加辅助线的解决有关梯形问题的常用方法)

等腰梯形的判定方法:

(1)两腰相等

(2)同底上的两个角相等

梯形的画法：画出符合条件的梯形,通常先要“分析”,借助铺线找出可以画出的部分图形(等腰三角形,直角三角形等).

　梯形中常用的四种辅助线的添法(如下图):

1;课本P119练习3,4.

2,参看列1:证法三.

2,画法:参看补充题.

腰长=

周长=2

面积=

2、补充练习.

(1)等腰梯形与等腰三角形有哪些联系?

有两各内角是70得梯形一定是等腰梯形?为什么?

受刚才做图的启发：只有等腰三角形才能得到等腰梯形。请同学们靠虑下面的问题。

议一议：

“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗？能否加以证明。

学生活动：

　　 (通过想一想，试一试，议一议。做一做的小活动，初步懂得添加辅助线的一般方法，学会将梯形问题转化为平行四边形、矩形、等腰三角形来处理)

证法一:如图延长BA.CD相交于点E.

∵∠B＝∠C(三角形中等角对边等)

∴BE＝CE.

∵四边形ABCD是梯形,

∴AD∥BC.

∴∠EAD＝∠B,∠EDA＝∠C.

即AB＝CD,

∴梯形ABCD是等腰梯形.

证法二: 如图将CD平移到AE位置.

此时四边形AECD是平行四边形.

则AE∥CD且AE＝CD,

∴∠AEB＝∠C.

又∵∠B＝∠C,

∴∠B＝∠AEB.

∴AB＝AE.(三角形等角对边等)

∴AB＝CD.

因此梯形ABCD是等腰梯形.

证法三: 如图作梯形ABCD的高AE、DF分别交于BC于E、F.

∵梯形上、下底平行,即AD∥BC,

∴AE＝DF.(夹在平行线间的垂线段相等)

又∵∠AEB＝∠DFC＝90°,∠B＝∠C,

∴△ABE≌△DCF.

∴AB＝DC

∴梯形ABCD是等腰梯形.

通过活动，同学的说理能力以有了很大提高。由此我们也得到等腰梯形的两种判定方法。

(1)　　　两腰相等的梯形是等腰梯形。

(2)　　　同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

应用举例：

[列2]如下图,梯形ABCD中,BC∥AD,DC∥AB.DE＝DC,∠A＝100°,求梯形其他三个内角的度数.

师生共析：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)　　　梯形上、下底平行,可以由同旁内角互补求得∠B=80°

(2)　　　可想办法证明梯形ABCD是等腰梯形,从而解决∠C和∠ADC的问题.

解:∵BC∥AD,DE∥AB,

∴四边形ABED是平行四边形.

∴AB=DE.

又DE=DC

∴AB=DC.

梯形ABCD是等腰梯形,

∴∠C=∠B=180°-∠A=80°,

∠D=∠A=100°.

补充题:画一个等腰梯形,使它的上.下底分别为4cm和10cm,高为3cm.

分析:假设等腰梯形ABCD已画出,如下图,作出高AE和DF,可证得Rt△ABE Rt△DCF,所以EF=AD=4cm,BE=CF==3cm.于是可先画出Rt△ABE,进而确定点C,过A作AD∥BC,使AD=4cm,可确定D,连接DC,即可确定等腰梯形ABCD.

　画法：(1)画Rt△ABE使∠AEB=90°,AE=3cm,BE=3cm.

(2)延长BE到C使BC=10cm.

(3)过A作AM∥BC,且使BC、AM在AB的同旁,在AM上截取AD=10cm.

(4)连接DC,则梯形ABCD就是所要画的等腰梯形.(如图)

(还可以启发学生思考、讨论,得多种画法)

　如左下图,平行移动一腰AB到DF,可在Rt△CDF中算出腰CD的长,CD=(cm),因此可先画出等腰△DCE,从而画出等腰梯形ABCD；又如右下图利用等腰梯形轴对称图形,且对称轴是连结上、下两底中点的线段所在的直线.因此可以先画梯形ABEF使EF=3cm,EF⊥BE,BE=6cm,AF∥BE.然后利用轴对称性画出等腰梯形ABCD.

上节课,我们研究了梯形,并且研究了特殊的梯形-等腰梯形的概念及其性质,请同学们说出什么样的梯形是等腰梯形?两腰梯形有什么性质?

(学生讨论)等腰梯形是特殊的梯形,所以它具有梯形的性质,它还具有下列一般梯形所不具备的性质.同一底上两个内角相等；对角线相等；是轴对称图形.

下面请同学们来做一做(老师播放课件,学生进行画、讨论、总结)

在下图中的每个三角形中画一条线段.

(1)　　怎样画才能得到一个梯形?

(2)　　在哪些三角形中,能够得到一个等腰梯形呢?

(1)　　因为梯形的上、下两底平行且不相等，所以只要在三角形的两边上各找一点，使这两点的连线平行于第三边即可得到梯形。

(2)　　第(2)(3)个三角形中能够得到一个等腰梯形。在等腰三角形的两腰上分别找一点，使这两点的连线平形于等腰三角形的底边即可得到一个等腰梯形。

(3)　　说得太好了，这节课，我们就来探讨等腰梯形的判定。

4．梯形、多边形面积的计算

小学学过的梯形面积S=(a+b)h÷2 ，而l=(a+b)÷2，推出S=lh(l为梯形中位线长，h为梯形高)．

多边形面积的求法，任意多边形面积可以通过辅助线，把它分割成三角形、平行四边形、梯形，就可以利用这些图形的面积公式计算任意多边形面积．

第三步：应用举例：

例1：课本P121习题第9题(让学生思考并寻求证明方法，教师加以巡视及点拨.)
分析：如图，连AN并延长交BC延长线于E，这样可证△ADN≌△ECN,得AD=CE，MN变成△ABE的中位线，可得,且有MN∥BC∥AD
小结：1.梯形中位线性质：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．该定理的证明关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线．

例2 有一块四边形的地ABCD，测得AB=26m，BC=10m，CD=5m，顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的面积．
分析：解题的关键是通过辅助线把多边
形分割成面积可以计算的常见图形(三角形、平行四边形、梯形等)，至于解答程序可不作限制．可以先列出所求面积公式，再求公式中的未知项，最后代入公式求出结果；也可以先列出已知项，求出有关的未知项，再列出公式，将数值代入求出结果．
第四步：课堂小结
本节课主要讲了梯形中位线性质定理和证明，推出了梯形面积的又一计算公式．介绍了多边形面积计算原则(分割成四边形与三角形)，要求牢牢掌握.
对三角形、梯形中位线知识进行归纳：
1．三角形中位线定义、性质与判定．
2．梯形中位线的定义、性质与判定．
3．多边形面积的计算原则(分割)
课后反思：

19．3　梯形(三)

教学目标	知识与技能	使学生掌握梯形中位线定理，并能熟练地用它进行有关的论证和计算，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生具有“类比”和“转化”的数学思想和应用意识.
过程与方法	经历探索会运用梯形的中位线和性质进行有关问题的论证和计算.
情感态度与价值观	通过探索梯形的中位线的性质，提升学生的对知识的横向联系的素质
重点	梯形中位线性质及其证明．
难点	任意多边形面积的计算．

教学过程

备　　注

教学设计　与　师生互动

第一步：复习提问
1．什么叫做三角形的中位线？它有什么性质？
2．等边三角形各边中点的连线形成什么图形？

，
3.梯形也有中位线．那么梯形的中位线及性质是什么？

第二步：讲授新课：
1．梯形中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
强调：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段．
2．梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
该定理的证明关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线．
设法把梯形中位线转化为三角形中位线．
3. 等腰梯形的常用辅助线的添加方法
作法一：过点C作CF∥AD交AB延长线于F
作法二：过A作AF⊥DC于F，BE⊥DC于E
作法三：延长DA、CB交于点O　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作法四：过点B作 BE∥AD，交DC于点

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作法五：过点B作BE∥AC交DC延长线于点E
　

作法一　　　　　　　　　　　　作法二　

作法三　　　　　　　　　　　

　　　　　作法四

作法五

3．做-做--探索等腰梯形的性质(引入用轴对称解决问题的思想)．

在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线．

[问题一]　图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？学生画图并通过观察猜想；

[问题二]　这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？

结论：

①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．

②等腰梯形同一底上的两个角相等．

③等腰梯形的两条对角线相等．

解决梯形问题常用的方法：

　(1)“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图1)；

(2)“作高”：使两腰在两个直角三角形中(图2)；

　(3)“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中(图3)；

　(4)“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形(图4)；

(5)“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形(图5)．

　图1　　　　　图2　　　　　　图3　　　　　　图4　　　　图5

　综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．

第三步；应用举例：

例1(教材P118的例1)略．

(延长两腰　　梯形辅助线添加方法三)
例2(补充)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．

求CD的长．
　　分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形(EA=EB)，因此CD=EA=EB=BC-EC=BC-AD=9cm．

　　解(略)．
　
例3 (补充) 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝CD．

　　分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC(AAS)，故可得出BE=CD．
证明(略)
另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．
例4：求证：等腰梯形的两条对角线相等
　　　已知：　　　　　　　求证：
例5：如图4.9-4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm,求CD的长.

例6：已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.
　　　　已知：　　　　　　　　　　　求证：
例4：已知：如图4.9-5，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC.

第四步：课堂练习
1、填空
(1)在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC=　　　　 .
(2)直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是　　和　　　 .
(3)等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD=　　　 .
2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，AB＝，(1)求梯形的各角.(2)求梯形的面积.
3、(1)在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC=　　　．
(2)直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是　　和　　　．
(3)等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD=　　　．

4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．　 (AD=DC=BC=4，AB=8)

第五步：课后练习
1．填空：已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为　　，最小角为　　　．
2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长和面积．
3．已知：如图，梯形ABCD中，CD//AB，，．求证：AD=AB-DC．

4．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．(延长DE交CB延长线于点F，由全等可得结论)

第六步：课堂小结
1、梯形的定义及分类
2、等腰梯形的性质：
(1)具有一般梯形的性质：AD∥BC.
(2)两腰相等：AB=CD.
(3)两底角相等：∠B=∠C，∠A=∠D.
(4)是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线.
(5)两条对角线相等：AC=BD.
　　　　两条对角线的交点在对称轴上.
　　　　两腰延长线的交点在对称轴上.
　

课后反思：

19．3　梯形(一)

教学目标	知识与技能	1. 知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念；能说出并证明等腰梯形的两个性质；等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等． 2. 会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算． 3. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．
过程与方法	经历探索梯形的有关性质、概念的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移，轴对称的有关知识在梯形中应用.
情感态度与价值观	增强主动探索意识，发展合情推理思维，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值.
重点	等腰梯形的性质及其应用．
难点	解决梯形问题的基本方法(将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线)，及梯形有关知识的应用．