2.自变量v的取值是v＞0．

问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米)与x的函数关系式．

分析 根据矩形面积可知

　　　 xy＝24，

即　　

从这个关系中发现：

问题1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．

分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．

设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时，从家里到镇上的时间是t小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以

从这个关系式中发现:

1.路程一定时，时间t就是速度v的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．

两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系．

3.如图，点P是直线与双曲线在第一象限内的一个交点，直线与x轴、y轴的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴于B，若AB+PB＝9．

(1)求k的值；(2)求△PBC的面积．

2.已知关于x的一次函数y＝mx+3n和反比例函数图象都经过点(1,－2)，求这个一次函数与反比例函数的解析式．

1.已知一次函数y＝kx+b的图象过点A(0,1)和点B(a,－3a)(a＞0)，且点B在反比例函数的图象上，求a及一次函数式．

2．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．

1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．

例1 已知直线y＝x+b经过点A(3,0)，并与双曲线的交点为B(－2，m)和C，求k、b的值．

解 点A(3,0)在直线y＝x+b上，所以0＝3+b，b＝－3．

一次函数的解析式为：y＝x－3．

又因为点B(－2，m)也在直线y＝x－3上，所以m＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)．

而点B(－2,－5)又在反比例函数上，所以k＝－2×(－5)＝10．

例2 已知反比例函数的图象与一次函数y＝k₂x－1的图象交于A(2,1)．

(1)分别求出这两个函数的解析式；

(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．

分析 (1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k₁、k₂的值．

(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上．

解 (1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k₁＝2×1＝2．

1＝2 k₂－1，k₂＝1．

所以反比例函数的解析式为：；一次函数解析式为：y＝x－1．

(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(－2,－1)．

把A点的横坐标代入反比例函数解析式得，，所以点A在反比例函数图象上．

把A点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝－2－1＝－3，所以点A不在一次函数图象上．

例3 已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的的图象上．

(1)求a的值．

(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．

(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．

(4)如果P(m,y₁)、Q(m+1,y₂)是这个一次函数图象上的两点，试比较y₁与y₂的大小．

分析 (1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．

(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．

(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．

解 (1)反比例函数的图象过点B(a,－3a)，，a＝±1，因为a＜0， 所以a＝－1． a＜0． B(－1,3)．

又因为一次函数图象过点A(0,1)和点B(－1,3)．

所以解得，．

即：一次函数的解析式为y＝－2x+1．

(2)

一次函数和反比例函数的图象为：

(3)从图象上可知，当一次函数y的值在－1范围内时，相应的x的值为：

－1≤x≤1．

(4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m+1＞m，所以y₁＞y_2。

或解：当x₁＝m时，y₁＝－2m+1；当x₂＝m+1时，y₂＝－2×(m+1)+1＝－2m－1

所以y₁－y₂＝(－2m+1)－(－2m－1)＝2＞0，即y₁＞　y_2。

例4 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．

(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．

分析 (1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式　．

(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．

解 (1)观察图象可知，反比例函数的图象过点A(－2,1)，m＝－2×1＝－2．

所以反比例函数的解析式为：．又点B(1,a)也在反比例函数图象上，．即B(1,－2)．

因为一次函数图象过点A、B．所以解得，

一次函数解析式为：y＝－x－1．

(2)观察图象可知，当x＜－2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数值．

　　 综合运用一次函数和反比例函数的知识解题，一般先根据题意画出图象，借助图象和题目中提供的信息解题．