2、等腰梯形的性质

(1)具有一般梯形的性质：一组对边平行

(2)两腰相等

(3)同底上的两底角相等

(4)是轴对称图形，对称轴是通过上下底中点的直线

(5)两条对角线相等，两条对角线的交点在对称轴上，两腰延长线的交点也在对称轴上。

1、梯形的定义及分类：

课本P119练习1、2

问题：请大家根据刚才的画图，给梯形下一个定义。(让学生在不断的探讨中完善梯形的定义。)

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

问题：“一组对边平行且不等的四边形是梯形”，对吗？为什么？(让学生在思考中锻炼逻辑思考能力)

让学生直观认识梯形中的有关元素：上、下底，腰、高。

梯形中平行的两边叫梯形的底，上下底是以平行两边的长短来区分的，而不是指两边的位置，较短的底叫上底，较长的底叫下底。

不平行的两边叫梯形的腰。

夹在两底间的垂线段叫梯形的高。

如图，梯形中ABCD中，AD∥BC上底是AD，下底是BC，腰是AB。CD，线段AE是梯形ABCD的高。观察下列框架图，体会平行四边形与梯形的联系与区别。

问题：如图(1)、(2)，在(1)中：四边形ABCD的AD∥BC，ABCD,且CD⊥BC；在(2)中，四边形ABCD的AD∥BC，且AB＝CD。请你给四边形命名。

学生答后，分析，图(1)中，CD⊥BC可以推出CD⊥AD，所以CD就是梯形的高。当CD⊥BC时，另一腰AB就不能和BC垂直了。因为若AB⊥BC，那么四边形ABCD就成为矩形了；图(2)中AB=CD，但AD≠BC，否则四边形ABCD就成为平行四边形了，而不是梯形，直角梯形和等腰梯形都是特殊的梯形。

问题：观察图(3)中的等腰梯形ABCD，猜猜看它有哪些特殊的性质？想办法证明你的猜想。

让学生通过自己的思考，探索、交流去发现它的角、边、对角线的关系、对称性，有困难的学生，教师给以及时的引导，同时鼓励学生证明多样化。

(1)　　　 ∠ABC=∠DCB ,∠BAD=∠CDA即等腰梯形的底角相等。

证法一：如下图把腰AB平移到DE位置，即AB平行且等于DE，所以，四边形ABCD是平行四边形，同时△DEC是等腰三角形。

于是有：AB=DE=CD,

AD=BE,

∠B=∠DEC=∠C=∠ADE

∠A=∠BED=∠CDA

也就是说等腰梯形的底角相等。

证法二：如下图过A、D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，

∵AD∥BC

∴AE=DF

又AB=CD

Rt△AEB≌Rt△DFC

∠B=∠C, ∠BAE=∠CDF

∠BAE+90=∠CDF+90

即∠BAD=∠CDA

所以等腰梯形的底角相等。

总结：解决梯形问题时可以平移其中一腰转化为三角形问题或平行四边形问题求解，也可以作梯形的高，构造直角三角形求解。

(2)　　　 AC=BD即等腰梯形的对角线相等。

证明：如下图

由AB=CD,BC=BC, ∠ABC=∠DCB可得出△ABC≌△DCB可以再推出AC=BD

(3)　　　 用折纸的方法可以确认等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是过两底中点的连线所在的直线。

也可以借助等腰三角形的轴对称性加以证明。做法如下：

延长相交于点，易证都是等腰三角形，则，所在直线是两个等腰三角形，的对称轴，由轴对称图形可知，也是等腰梯形的对称轴，因此等腰梯形是轴对称图形。

应用举例：

[例1]　　　　　　 如下图，延长等腰梯形ABCD的腰BA与CD，相交于点E，求证△EBC和△EAD是等腰三角形。

证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴∠B=∠C

∴△EBC是等腰三角形。

∵AD∥BC

∴∠1=∠B

∠2=∠C

∴∠1=∠2

∴△EAD是等腰三角形。

前面我们探讨的四边形都是平行四边形，请同学们回忆什么样的四边形是平行四边形？平行四边形有哪些性质？

两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形的性质：边：两组对边分别平行且相等。

　　　　　　　　　 角：两组对角分别相等。

　　　　　　　　　 对角线：互相平分。

梯子、跳箱、堤坝的横截面都给人以梯形的印象。什么样的图形是梯形呢？能画出一个梯形吗？让学生动手画梯形，同时引入新课。

25.如图13(尺寸单位：㎜)所示甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等，有两种面积相等的矩形铝板可供选用.第一种长500㎜，宽300㎜；第二种长600㎜，宽250㎜.为了充分利用材料，应选第　　 种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙零件共　　　 个.剪下这些零件后，剩余的边角料的面积是　　　　 　㎜².

4．

　　　　　　　 图12

24.(14分)如图12，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B的度数．

23.(14分) 如图11，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE.

　　　　　　 图11

22.(12分) 如图10，等腰梯形ABCD中，AB//CD，DC=AD=BC，且对角线AC垂直于腰BC，求梯形的各个内角.

　　　　　　　　　　　　　 图10