3.巩固知识，强化能力

例1　　　　　 求出图19.3.3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.

探 索

根据三角函数的定义，sin30゜是一个常数.用刻度尺量出你所用的含30゜的三角尺中，30゜所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看这个常数是什么.

通过计算，我们可以得出

即斜边等于对边的2倍.因此我们还可以得到：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

做一做

在Rt△ABC中，∠C＝90゜，借助于你常用的两块三角尺，根据锐角三角函数定义求出∠A的四个三角函数值：

(1)∠A＝30゜　(2)∠A＝60゜　　(3)∠A＝45゜.

(可以通过画三角形来解决。)

为了便于记忆，我们把30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下.(请填出空白处的值)

2.引入新知，形成概念

　　 直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，我们已经知道，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示(如图19.3.1).

前面的结论告诉我们，在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变(如∠A＝34°)，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值.

思 考

一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？

观察图19.3.2中的Rt△AB₁C₁、Rt△AB₂C₂和Rt△AB₃C₃，易知

Rt△AB₁C₁∽Rt△_______∽Rt△_________.

所以　　　　

可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的.

我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的.

因此这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sin A、cos A、tan A、cot A，即

　　 分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数.

显然，锐角三角函数值都是正实数，并且

0＜sin A＜1，0＜cos A＜1

根据三角函数的定义，我们还可得出

tan A•cot A=1

1. 复习巩固，做好铺垫

在19.1节中，我们曾经使用两种方法，求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即

按1/500的比例，就一定有

1/500就是它们的相似比.

当然也有　　　　

通过多媒体的演示，复习角的终边与始边，然后在终边上取一点P，切换至不同的位置，探究得

结论1：PM与OP的比始终等于定值，而与点P的在终边上的位置无关．

结论2：不论点P在终边上的位置如何，对于确定的锐角这四个比值都是定值，请猜想，什么条件变时，这四个比值会变？(a角度)，由此知，这四个比值都是自变量a的函数．　

教学重点：锐角三角函数的概念及表示；

教学难点：锐角三角函数概念。

4.学会根据定义求锐角三角函数的值．

3.掌握直角三角形中的锐角三角函数；

2.掌握锐角三角函数的表示；

1.理解锐角三角函数概念；

19.2.3 正方形

教学过程

备　　　 注	教学设计　　 与　　 师生互动
	第一步：课堂引入 1．做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形． 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： (1)有一组邻边相等的平行四边形 (菱形) (2)有一个角是直角的平行四边形 (矩形) 2．[问题]正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形． 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 归纳、总结正方形的性质： 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，引导学生从角、边、对角线上归纳总结. 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
第二步：应用举例： 例1(教材P111的例4) 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O(如图)．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形． 证明：∵　 四边形ABCD是正方形， ∴　 AC=BD， AC⊥BD， AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分)． ∴　△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形， 并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 　 　 例2 (补充)已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF． 　　 分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得． 　　 证明：∵　 四边形ABCD是正方形， ∴　 ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等)． 又　 DG⊥AE， ∴　 ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°． ∴　 ∠EAO=∠FDO． ∴　 △AEO ≌△DFO． ∴　 OE=OF． 　 　例3 (补充)已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点． 求证：四边形PQMN是正方形． 分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论． 证明：∵　 PN⊥l1，QM⊥l1， ∴　 PN∥QM，∠PNM=90°． ∵　 PQ∥NM， ∴　 四边形PQMN是矩形． ∵　 四边形ABCD是正方形 ∴　 ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC(正方形的四条边都相等，四个角都是直角)． ∴　 ∠1+∠2=90°． 又　 ∠3+∠2=90°，　 ∴　 ∠1=∠3． ∴　 △ABM≌△DAN． ∴　 AM=DN．　 同理　 AN=DP． ∴　 AM+AN=DN+DP 即　 MN=PN． ∴　 四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)． 　 例4：已知：分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO ，使AO=OC，BO=OD，求证：四边形ABCD是正方形. 　　　　　　 例5：已知：点A,、B,、C,、D,分别是正方形 ABCD四条边上的 点，并且AA,=BB,=CC,=DD.求证：四边形A,B,C,D,是正方形.
第三步：、随堂练习 1．正方形的四条边____　 __，四个角___　 ____，两条对角线____　 ____． 2．下列说法是否正确，并说明理由． ①对角线相等的菱形是正方形；(　 ) ②对角线互相垂直的矩形是正方形；(　 ) ③对角线垂直且相等的四边形是正方形；(　 ) ④四条边都相等的四边形是正方形；(　 ) ⑤四个角相等的四边形是正方形．(　 ) 1．　 已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别 为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF． 4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．
第四步：课后反思： 1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF． 求证：EA⊥AF． 　 2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形． 　 3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．
第五步：反馈归纳 　 　(1)正方形是怎样的平行四边形？，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形； (2)正方形是怎样的矩形？有一组邻边相等的矩形； (3)正方形是怎样的菱形？有一个角是直角的菱形； (4)明确四者之间的关系！！！！ (5)判定一个平行四边形是正方形，还应具备什么条件？方法1 (6)判定一个矩形是正方形还应具备什么条件？方法2； (7)判定一个菱形是正方形还应具备什么条件？方法3； (8)小结：判定正方形的方法有三种. 知识再现： 　　　　　　　 ⑴ 对边平行　　　　　　 边 　　　　　　　 ⑵ 四边相等 　　　　　　　 ⑶ 四个角都是直角　　　 角 正方形　　 ⑷ 对角线相等 　　　　　　　　　 互相垂直　　　　　　 对角线 　　　　　　　　　 互相平分 　　　　　　 平分一组对角
课后反思 ：

19.2.2　 菱形(二)

教学过程

备　　 注	教学设计　　 与　　 师生互动
	第一步：课堂引入 1．复习 (1)菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形； (2)菱形的性质1　 菱形的四条边都相等； 性质2　 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角； (3)运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？(判定：2个条件) 2．[问题]要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？ 3．[探究](教材P109的探究)用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ 通过演示，容易得到： 菱形判定方法1　 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 注意此方法包括两个条件：(1)是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直． 　 通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法： 菱形判定方法2　 四边都相等的四边形是菱形． 注意：应用判定方法1时，要注意其性质包括两个条件：(1)是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直．如对角线互相垂直的四边形是菱形吗？为什么？同时可用图来证实，虽然对角线AC⊥BD，但它们都不是菱形． 　菱形常用的判定方法归纳为(让学生讨论归纳后，并板书)：
第二步：应用举例： 例1 (教材P109的例3)略 例2(补充)已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形． 证明：∵　 四边形ABCD是平行四边形， ∴　 AE∥FC． ∴　 ∠1=∠2． 又　 ∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴　 △AOE≌△COF． ∴　 EO=FO． ∴　 四边形AFCE是平行四边形． 又　 EF⊥AC， ∴　 AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)． 　 　　 ※例3(选讲) 已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F． 求证：四边形CEHF为菱形． 　　 略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF． 所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．
第三步：随堂练习 1．填空： (1)对角线互相平分的四边形是　　　　　　　　　　　　 ； (2)对角线互相垂直平分的四边形是________； (3)对角线相等且互相平分的四边形是________； (4)两组对边分别平行，且对角线　　　　　　　 的四边形是菱形． 2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm． 3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形.
第四步：课后练习 1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是　 (　　 )． (A)两条对角线相等　　　 (B)两条对角线互相垂直 (C)两条对角线相等且互相垂直　 (D)两条对角线互相垂直平分 2．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形． 3．做一做： 设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15 cm，宽为4 cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形．
第五步：课堂小结： 菱形可根据哪些进行判定？填写下表、填图： 　 应具备两个条件 菱形的判定 　 　 菱形的定义 　 　 判定定理1 　 　 判定定理2
课后反思：