广东省2009届高三数学一模试题分类汇编――圆锥曲线
珠海市第四中学 邱金龙
一、选择题
1、（2009东莞一模）设
是椭圆
上的点．若
是椭圆的两个焦点，则
等于（ ）
A．4 B
D
2、（2009茂名一模）已知
是椭圆的两个焦点，过
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若
是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A、
B、
C、
D、
C
3、（2009汕头一模）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）
A、x2－y2＝2 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B、x2－y2＝ C、x2－y2＝1 D、x2－y2＝
A
4、（2009韶关一模）圆
上的动点
到直线
的最小距离为
A．1 B． 
C． 
D．
B
5、（2009深圳一模）设平面区域
是由双曲线
的两条渐近线和椭圆
的右准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点
，则目标函数
的最大值为
A．
B．
C．
D．
C
6、（2009湛江一模）过点A (3 , 0 ) 的直线l与曲线 
有公共点，则直线l斜率的取值范围为
A．(
, 
) B．[, ]
C．(
, 
) D．[, ]
D
二、解答题
1、（2009广州一模）已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2+x2=64相内切
(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；
(2)设直线l: y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线
交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.
(本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、类与整的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
解：（1）圆M：(x－2)2+x2=64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R=8.
∵|AM|=4<R，∴点A(－2，0)在圆M内，
设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r= |CA|，且|CM|=R－r，
即|CM+|CA|=8>|AM|， ……3分
∴圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，
设其方程为
(a>b>0)，则a=4，c=2，
∴b2=a2－c2=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为
.
……5分
(2)由
消去y 化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2=
.
△1=(
由
消去y 化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0，
设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3+x4=
.
△2=(－
∵，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即x1+x2= x3+x4，
∴
，∴
，
解得k=0或m=0， ……11分
当k=0时，由①、②得
，
∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1，0，1，2，3；
当m=0时，由①、②得
，
∵k∈Z，∴k=－1，0，1.
∴满足条件的直线共有9条. ……14分
2、（2009广东三校一模）知定点
和定直线
，
是定直线上的两个动点且满足
,动点满足
∥
，
∥
（其中
为坐标原点）.www.1010jiajiao.com
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点
的直线
与相交于
两点
①求
的值;
②设
,当三角形
的面积
时,求
的取值范围.
解：(1)设
(
均不为
),
由 ∥ 得
,即
2分
由∥得
,即
2分
得 
动点的轨迹的方程为
6分
（2）①由（1）得的轨迹的方程为，,
设直线的方程为
,将其与的方程联立,消去
得
.
8分
设的坐标分别为
,则
. 
,
9分
故
10分
②解法一：
， 即
又
, 
. 可得
11分
故三角形的面积
,
12分
因为
恒成立，所以只要解
. 即可解得
.
14分
解法二：，
，
（注意到
）
又由①有，
，
三角形的面积
（以下解法同解法一）
3、（2009东莞一模）设椭圆
的左右焦点分别为、
，
是椭圆上的一点，且
，坐标原点到直线
的距离为
．
（1）求椭圆的方程；
（2） 设
是椭圆上的一点，过点的直线交轴于点
，交
轴于点
，若
，求直线的斜率．
解： （Ⅰ）由题设知
由于，则有
，所以点的坐标为
……..2分
故所在直线方程为
…………3分
所以坐标原点到直线的距离为
，
又
，所以
，解得：
.………….5分
所求椭圆的方程为
.…………7分
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线斜率为
，则直线的方程为
，则有
.……9分
设
，由于、、三点共线，且
.
根据题意得
,解得
或
.…………12分
又在椭圆上，故
或
，
解得
,综上，直线的斜率为或
…………14分
4、（2009番禺一模）已知抛物线
的焦点为，点是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，点到抛物线准线的距离等于5，过作
垂直轴于点
，线段
的中点为.
（1）求抛物线方程；
（2）过点作
，垂足为
，求点的坐标；
（3）以点为圆心，
为半径作圆，当
是轴上一动点时，讨论直线
与圆的位置关系．
解：（1）抛物线
的准线
∴所求抛物线方程为
………………3分
（2）∵点A的坐标是（4，4）， 由题意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0）， ∴
则FA的方程为y=
（x－1），MN的方程为
解方程组
………………7分
（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2.
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离， ……………9分
当m≠4时，直线AK的方程为
即为
…………………10分
圆心M（0，2）到直线AK的距离
，
…………………11分
令
时，直线AK与圆M相离；
……………………12分
当m=1时，直线AK与圆M相切； …………………13分
当
时，直线AK与圆M相交.
……………………14分
5、（2009江门一模）如图6，抛物线：
与坐标轴的交点分别为、
、
.
⑴求以、为焦点且过点的椭圆方程；
⑵经过坐标原点的直线
与抛物线相交于
、两点，若
，求直线的方程．
⑴由解得
、
、
----------3分
所以
，
，从而
----------5分，椭圆的方程为
----------6分
⑵依题意设
：
----------7分，由
得
----------8分
依题意得
----------11分，解得
----------13分
所以，直线的方程是
或
----------14分
6、（2009茂名一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：
的圆心C。
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线的方程。
解：
（1）圆C方程化为：
，
圆心C
………………………………………………………1分
设椭圆的方程为
，则……………………………………..2分
所以所求的椭圆的方程是：
………………………………………….6分
（2）由（1）得到椭圆的左右焦点分别是
，
在C内，故过没有圆C的切线……………………………………………….8分
设的方程为
……………………………………….9分
点C
到直线的距离为d
,
由
＝
…………………………………………….11分
化简得：
解得：
…………………………………………………………13分
故的方程为
……………………………14分
7、（2009韶关一模）已知动圆过定点
，且与定直线
相切.
（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（II）若是轨迹C的动弦，且过， 分别以、为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明:
.
解：（I）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上……2分
因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是
………………….5分
（II）
…………….6分
， 
，
………8分
抛物线方程为
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
，
，
所以，
8、（2009深圳一模）如图，两条过原点的直线
分别与轴、轴成
的角，已知线段
的长度为，且点
在直线
上运动，点
在直线
上运动．
(Ⅰ) 求动点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）设过定点
的直线与(Ⅰ)中的轨迹交于不同的两点、，且
为锐角,求直线的斜率的取值范围．
解：（Ⅰ）由已知得直线
，：
，
：
， ……… 2分
在直线上运动，直线上运动，
,
，
…………………… 3分
由
得
，
即
，
，
…………………… 5分
动点的轨迹的方程为
． …………………… 6分
（Ⅱ）直线方程为
，将其代入，
化简得
， ……… 7分
设
、
，
，
且
， …………………… 9分
为锐角，
，
…………………… 10分
即
，
，
．
将代入上式，
化简得
，
．
…………………… 12分
由
且
，得
． ……………………14分