学科网已知△ABC的面积S满足3≤S≤3且的夹角为，

   （Ⅰ）求的取值范围；

   （Ⅱ）求的最小值。

解：（Ⅰ）由题意知

的夹角

（Ⅱ）

有最小值。

的最小值是.

（18)(本小题满分12分)

学科网设函数是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求恒成立的概率。

解：

…………………………2分

…………………………4分

于是成立。……………………6分

设事件A：“恒成立”，则

基本事件总数为12个，即

（1，2），（1，3），（1，3），（1，5）；

（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；

（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；…………………………8分

事件A包含事件：（1，2），（1，3）；

（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；

（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个……………………10分

由古典概型得……………………12分

学科(19)(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；

（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

（3）如果AB=1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由.

（1）证明:连结BD.

在长方体中，对角线.

又 E、F为棱AD、AB的中点，

 .

 .               

又B₁D₁平面，平面，

  EF∥平面CB₁D₁.      …………4分

（2） 在长方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面    A₁B₁C₁D₁，

 AA₁⊥B₁D₁.

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.                 

又 B₁D₁平面CB₁D₁，

平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．…………8分

（3）最小值为

如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的中点，所求的最小值为 .…………12分

(20)(本小题满分12分)

设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：

相切，求椭圆C的方程.

解:⑴设Q（x₀，0），由F（-c，0）

A（0，b）知

设，

得…2分

因为点P在椭圆上，所以…………4分

整理得2b²=3ac，即2(a²－c²)=3ac，,故椭圆的离心率e=………6分

⑵由⑴知，………………………………7分

……………………………………………………9分

于是F（－a，0） Q，

△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a……………………11分

所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为……12分

(21)(本小题满分12分)

以数列的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数的图象上，数列满足条件：，

⑴求证：数列是等比数列；

⑵设数列、的前项和分别为、，若，，求的值．

解：⑴由条件得   显然                         ………………1 分

（若，则，那么点P_n在一次函数的图象上，与条件不符）

∵为常数，          ………………3分

∴所以数列是公比为2的等比数列                           ………………5分

⑵由⑴得：，           ………………7分

∴                    ………………8分

∵，

∴

…10分

∴　　

由得代入得                  ………………12分

(22)(本小题满分14分)

已知函数.

（Ｉ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与轴垂直，且线段AB与轴有公共点，求实数的取值范围.

解：（Ⅰ）由题设知.

令.

当（i）a>0时，

在和上是增函数；在上是减函数；

（i i）当a＜0时，

在上是增函数；在和上是减函数；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.

因为线段AB与x轴有公共点，所以.

即.所以.

故.

解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.

即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].