由古典概型得--------12分——青夏教育精英家教网—

摘要：由古典概型得--------12分

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某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得-1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其它不知道随意连线，将他的得分记作ξ。

（1）求该观众得分ξ为负数的概率；

（2）求ξ的分布列及数学期望。

【解析】本试题主要是考查了理解题意，运用排列数表示古典概型，并求解分布列以及数学期望的综合试题。

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某校从参加高三年级第一学期期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，满分为100分），将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表：

（Ⅰ）将上面的频率分布表补充完整，并估计本次考试全校85分以上学生的比例；

（Ⅱ）为了帮助成绩差的同学提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩为中任选出两位同学，共同帮助成绩在中的某一个同学，试列出所有基本事件；若同学成绩为43分，同学成绩为95分，求、两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率．

分组	频数	频率[来源:学_科_网]
[40, 50 ）	2	0.04
[ 50, 60 ）	3	0.06
[ 60, 70 ）	14	0.28
[ 70, 80 ）	15	0.30
[ 80, 90 ）
[ 90, 100 ]	4	0.08
合计

【解析】第一问利用表格可知第五行以此填入 12 0.24

第七行以此填入 50 1 估计本次全校85分以上学生比例为32％

第二问中，设数学成绩在[90，100]间的四个同学分别用字母B1，B2，B3，B4表示；被帮助的两个同学为A₁，A₂出现的“二帮一”小组有A₁B₁B₂；A₁B₁B₃；A₁B₁B₄；A₁B₂B₃；A₁B₂B₄；A₁B₃B₄

A₂B₁B₂；A₂B₁B₃；A₂B₁B₄；A₂B₂B₃；A₂B₂B₄；A₂B₃B₄

A₁、B₁两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的有 A₁B₁B₂；A₁B₁B₃；A₁B₁B₄

l利用古典概型概率得到。

（Ⅰ）第五行以此填入 12 0.24 ……………2分

第七行以此填入 50 1 ……………4分

估计本次全校85分以上学生比例为32％ ……………6分

（Ⅱ）设数学成绩在[90，100]间的四个同学分别用字母B₁，B₂，B₃，B₄表示；被帮助的两个同学为A₁，A₂出现的“二帮一”小组有A₁B₁B₂；A₁B₁B₃；A₁B₁B₄；A₁B₂B₃；A₁B₂B₄；A₁B₃B₄

A₂B₁B₂；A₂B₁B₃；A₂B₁B₄；A₂B₂B₃；A₂B₂B₄；A₂B₃B₄

A₁、B₁两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的有 A₁B₁B₂；A₁B₁B₃；A₁B₁B₄

所以 A₁、B₁两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率为 3 /12 =1 /4

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某校从参加高三年级理科综合物理考试的学生中随机抽出名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的

平均分；

（Ⅲ）若从名学生中随机抽取人，抽到的学生成绩在记分，在记分，

在记分，用表示抽取结束后的总记分，求的分布列和数学期望.

【解析】（1）中利用直方图中面积和为1，可以求解得到分数在内的频率为

（2）中结合平均值可以得到平均分为：

（3）中用表示抽取结束后的总记分x, 学生成绩在的有人，在的有人，在的有人,结合古典概型的概率公式求解得到。

(Ⅰ)设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，则有，可得，所以频率分布直方图如右图.……4分

（求解频率3分，画图1分）

（Ⅱ）平均分为：……7分

（Ⅲ）学生成绩在的有人，在的有人，

在的有人.并且的可能取值是. ………8分

则；；；

；.（每个1分）

所以的分布列为

	0	1	2	3	4

…………………13分

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一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．

（I）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为．求关于的一元二次方程有实根的概率；

（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n．若以作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率．

【解析】第一问利用古典概型概率求解所有的基本事件数共12种，然后利用方程有实根，则满足△=4a²-4b²≥0，即a²≥b²。，这样求得事件发生的基本事件数为6种，从而得到概率。第二问中，利用所有的基本事件数为16种。即基本事件（m，n）有：（1，1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2，2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3，3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4，4）共16种。在求解满足的基本事件数为（1，1）（2,1）（2，2）（3,1）共4种，结合古典概型求解得到概率。