19.(本小题13分)
解:![]()
令
=0得![]()
(1)当![]()
即
<0或
>4时
有两个不同的实根
,
,不妨设
<![]()
于是
,从而有下表
|
x |
|
x1 |
|
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
↑ |
|
↓ |
|
↑ |
即此时
有两个极值点.
(2)当△=0即
=0或
=4时,方程
有两个相同的实根![]()
于是![]()
故当
<
时
>0,当
>
时
>0,因此
无极值
(3)当△<0即0<
<4时![]()
,故
为增函数,此时
无极值. 因此当
无极值点.
21. (山东卷)已知
是函数
的一个极值点,其中
,
(I)求
与
的关系式;
(II)求
的单调区间;
(III)当
时,函数
的图象上任意一点的切线斜率恒大于3
,求
的取值范围.
解(I)
因为
是函数
的一个极值点,所以
,即
,所以![]()
(II)由(I)知,
=![]()
当
时,有
,当
变化时,
与
的变化如下表:
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|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
调调递减 |
极小值 |
单调递增 |
极大值 |
单调递减 |
故有上表知,当
时,
在
单调递减,在
单调递增,在
上单调递减.
(III)由已知得
,即![]()
又
所以
即
①
设
,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,
所以
解之得
又
所以![]()
即
的取值范围为![]()