2、　 切线长定理包含两个结论，如图(1)所示，PA、PB切⊙O于点A、B，则有：

(1)“切线长相等”，即PA＝PB。

(2)“圆心和这点的连线平分两切线的夹角”，即：PO平分；

根据PA=PB，PO平分，可得点A、B关于直线OP对称，从而有OP垂直平分AB、＝以及∽∽等结论，由此可得，切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例，垂直关系的重要依据。

1、　 “切线长”是切线上一条线段的长度，具有数量的特征；而“切线”是一条直线，它是向两方无限延展的，不可以度量长度。

3、　 能结合具体图形，准确地表述相交弦定理、切割线定理及其推论的题设和结论，并能应用它们解有关的计算和证明题，会作两条线段的比例中项。

2、　 理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，并会运用它们解决有关问题，通过弦切角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法。

1、　 理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。

2．(1)A；　　　　　　 (2)D (3)D (4)D　　　　 (5)B

1．　 (1)相离，相切；　　　　　　 (2)，大于；

(3)　　 相切或相交；　　　　　 (4)，90，相切；

(5)30，120，；　　　 (6)；　　　　　　 (7)115

(8)　　　 1：2；　　　　　　　 (9)15，60，，1，。

2．　 选择题

(1) 设⊙O半径为，点O到直线I的距离为，若⊙O与至多只有一个公共点，则与的关系为(　 )

(A) 　≥　　　　　　 (B) ＜　　　　　 (C) ≤　　　　　 (D) =

　　 (2) 等腰△ABC的腰AB=AC=4，若以A为圆心，2为半径的圆与BC相切，则∠BAC的度数为(　 )

(A) 　30^O　　　　　 (B) 60^O　　　　 (C) 90^O　　　　 (D) 120^O

(3) 　 下列直线中能判定为圆的切线的是(　 )

(A) 　与圆有公共点的直线。

(B) 　 垂直于圆的半径的直线。

(C) 　 过圆的半径的外端的直线。

(D) 　到圆心的距离等于该圆的半径的直线。

(4) 　 AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是(　 )

(A) 　AB与⊙O相切于直线CD上的点C。

(B) 　 CD经过圆心O。　　　　　 (C) CD是直线。

(D) AB与⊙O相切于C，过圆心O。

(5) 　 如图(10)，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠P=70^O，则∠C( )

　 (A) 70^O　　　　　 (B)55^O (C)110^O (D)140^O

1．　 填空题：

(1) 　 已知圆的直径为13，直线与圆心的距离为，当时，直线与圆　　 ；当时，直线与圆　　　 。

(2) 　 R△ABC中，∠C=90^O，AC=3,BC=4，则以C为圆心，　　 为半径的圆与AB相切；以C为圆心，　　 为半径的圆与AB相交。

(3) 　 若直线与圆的公共点个数不小于1，则直线与圆的位置关系是　　 。

(4) 　 如图(7)，A为⊙O的半径OC的延长线上一点,且CA=OC，弦BC=OC，则BC=　 　　OA，∠OBA=　　 ^O ，BA与⊙O的位置关系是　　 。

图(7)图(8)

(5) 　 如图(8)，已知AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则∠D=　 ^O，∠C=　 ^O。若⊙O的半径为R，则AC=　 。

(6) 　 两个同心圆的半径分别为1和2，大圆的弦AB与小圆相切，则AB=　　 。

(7) 　 已知I为△ABC的内心，∠B=50^O，则∠AIC=　　 。

(8) 　 等边三角形内切圆半径与外切圆半径之比是　　　 。

(9) 　 如图(9)，⊙O内切于R△ABC，∠C=90^O，D、E、F为切点，若∠AOC=120^O，则∠OAC=　 ^O，∠B=　 ^O，若AB=2，△ABC的外接圆半径=　　 ，内切圆半径=。

例1．　　 已知：如图(1)AB是⊙O的直径，CB⊥AB，AC交⊙O于E，D是的BC的中点，

求证：直线DE是⊙O的切线。

证明：连结OE、BE，

　　 ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90^O，

∴BE⊥AC，则∠BEC=90^O，

　 又∵D是BC的中点，

∴DE=BD=BC，∴∠DBE=∠DEB

∵OE=OB　　　　　　　　 ∴∠OBE=∠OEB

因此：∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB

即：∠OED=∠OBD

∵BC⊥AB　　　　　　　 即：∠OBD=90^O

∴∠OED=90^O

则DE是⊙O的切线。

评析：(1) 此例是由直径、圆周角、直角三角形斜边上的中线、切线的判定等知识构成的命题。(2) 证一条直线是圆的切线,常用的两个判定方法是：直线过圆上一已知点时，作过这点的半径转证直线垂直于这条半径；直线和圆的公共点的位置未知时，过圆心作到直线的距离，转证此距离等于圆的半径。此例显然用的是第一种方法。(3)此题的分析思路：要证DE是圆的切线，而E在圆上，据圆的切线的定义则E是切点，所以应连结OE，转证DE⊥OE。

例2．　　 已知：如图(2)所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥CD于D，BC⊥CD于D，且AD+CB=AB，以斜腰AB为直径作⊙O，

求证：CD是⊙O的切线。

图(2)

分析：要证CD是⊙O的切线，切点在什么位置呢？无法判定，因此应该用证明切线的第二种方法，作圆心到直线的距离OE，转而证OE等于圆的半径。

证明：过O作OE⊥CD于E，

　　　 　 ∵AD⊥CD，BC⊥CD

　　　 　 ∴AD||OE||BC

　　　 　 ∵O是AB中点，则E是CD中点。

　　　 　 ∴OE是梯形ABCD的中位线，

∴OE=(AD+BC)

又∵AD+BC＝AB

　∴OE=AB。

则DC是⊙O的切线。

例3．　　 如图(3)所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90^O，E为AB上的一点，ED平分∠ADC，EC平分∠BCD。

求证：以AB为直径的圆与DC相切。图(3)

分析：要证以AB为直径的圆与DC相切，只需证AB的中点到DC的距离等于AB。

证明：过点E作EF⊥CD于F。

ED平分∠ADC

DA⊥EA于A　　 ÞEA=EF　　　　　　　　　　 E为AB中点

EF⊥DF于F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Þ　　　　　　　　　　　　　　　

　同理可证：EF=EB　　　　　　　　　　 EF=AB

Þ以AB为直径的圆与CD相切。

例4．　　 如图(3)所示，已知△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线FE，交AC于E，且AE⊥DE。

求证：AB=AC

图(4)

证明：连结OD

∵DE切⊙O于D，则OD⊥DE

∵AE⊥DE，　　　　　　　 ∴OD∥AC　　　　 则∠C=∠ODB

∵OB=OD　　　　　　　　　 ∴∠B=∠ODC

∴∠B=∠C　　　　　　　　 则AB=AC

例5．　　 已知：如图(5)所示，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交于D，过D的切线分别交AB、AC的延长线于E、F，

求证：BC||EF

证明：连结OD

∵EF切⊙O于D，　 ∴EF⊥OD

∵AD平分∠BAC　　　 ∴∠BAD=∠CAD

则

由垂径定理，知：OD⊥BC

∴BC∥EF

注：此证法运用切线的性质比较灵活巧妙，只要在已知切线时用垂直方法的意识强，则不难想到。

例6．　　 如图(6)所示，△ABC三边长为，，，面积为S，内切圆⊙O的半径为，⊙O与△ABC的三边相切于D、E、F。

求证：

分析：要证，只需证：。

证明：连结OA、OB、OC

∵⊙O切△ABC的三边于D、E、F

∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC

∴S_△AOB=OD·AB=

同理可得：S_△BOC=　　　　　　 S_△AOC=

∴S=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=

∴

注：若∠C=90^O，则有：。