【典型例题】

【例1】（黑龙江齐齐哈尔）（1）

，      ，

点，点分别在轴，轴的正半轴上   

（2）求得

（3）；；；

【例2】（广东东莞）（1），;  等腰；

   （2）共有9对相似三角形.  　①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)

②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)

③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)

所以，一共有9对相似三角形

（3）由题意知，FP∥AE，

    ∴ ∠1＝∠PFB，

又∵ ∠1＝∠2＝30°，

  ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,

∴ FP＝BP.

过点P作PK⊥FB于点K，则.

∵ AF＝t，AB＝8，

∴ FB＝8－t，.

在Rt△BPK中，

∴ △FBP的面积，

∴ S与t之间的函数关系式为：

 ，或.    t的取值范围为：.

【例3】（河北）（1）∵∥

                   ∴

在中， ,∴，  

∴  而 ∴为等边三角形

            ∴…（3分）

（2）∵

∴      

∴

=    （）

即

∴当时，

（3）①若为等腰三角形，则：

（i）若， 

    ∴∥

∴ 即

解得：

此时

（ii）若，

    ∴

过点作，垂足为，则有：

即

解得：

此时

（iii）若，

∴∥

此时在上，不满足题意. ②线段长的最大值为

【例4】（（甘肃兰州）（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，

在中，，．

．．

点坐标为（2，4）．

在中，，   又．

 ．   解得：．

点坐标为

（2）如图①，．

，又知，，

， 又．

而显然四边形为矩形．

，又     当时，有最大值．

（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）

在中，，，为的中点，

．

又，为的中点．

过点作，垂足为，则是的中位线，

，，

当时，，为等腰三角形．

此时点坐标为．

（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）

在中，．

过点作，垂足为．

，．

．

，．

，，

当时，（），此时点坐标为．

综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或．

【学力训练】

1、(诸暨中学)（1）t=

（2）OC=CP 过点C作X轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H，证△OTC≌△CHP即可

（3）①（0≤t≤1）

②当t=0或1时，△PBC为等腰三角形，即P（1.1）, P（1，1－）

2、(湖北天门) (1)N()

(2)①AM=AN

,,,

②MN=AM

(舍去)或

③MN=AN

,

(3)不能

当N()时，△OMN为正三角形

由题意可得：,解得：

点N的速度为：

3、 (吉林省长春市)（1）作于，则．

，．

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