【典型例题】

【例1】（上海市）（1）取中点，联结，

为的中点，，．

又，．

，得；

（2）由已知得．

以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，

，即．

解得，即线段的长为；

（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，

又易证得．

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．

①当时，，．．

，易得．得；

②当时，，．

．又，．

，即，得．

解得，（舍去）．即线段的长为2．

综上所述，所求线段的长为8或2．

【例2】（山东青岛）（1）在Rt△ABC中，，

由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，

若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，

∴，∴，∴．       

（2）过点P作PH⊥AC于H．

∵△APH ∽△ABC，

∴，∴，∴，

∴．    　

（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴，    解得：．

若PQ把△ABC面积平分，则，  即－＋3t=3．

∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．

（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，

若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．

∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．

∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．

∴，  ∴，

∴， ∴，

∴，解得：．

∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．     

此时，　，

在Rt△PMC中，，

∴菱形PQP ′ C边长为．

【例3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

  ∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ AN＝x．

∴ =．（0＜＜4） 

（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

    由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即． 

∴ ，

∴ ．过M点作MQ⊥BC 于Q，则． 

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ ．

∴ ，．

∴ x＝． 

∴当x＝时，⊙O与直线BC相切．  

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．  

∴ ． AM＝MB＝2． 

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜≤2时，．  

∴ 当＝2时，

② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形，  

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形．

∴ FN＝BM＝4－x． 

∴ ．

又△PEF ∽ △ACB． 

∴ ．∴ ．

 ＝．

当2＜＜4时，．   

∴ 当时，满足2＜＜4，．    

综上所述，当时，值最大，最大值是2．

【例3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

  ∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ AN＝x．

∴ =．（0＜＜4） 

（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

    由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即． 

∴ ，

∴ ．过M点作MQ⊥BC 于Q，则． 

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ ．

∴ ，． ∴ x＝． 

∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．  

∴ ． AM＝MB＝2． 

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜≤2时，． 

∴ 当＝2时，

② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形， 

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形．

∴ FN＝BM＝4－x． 

∴ ．

又△PEF ∽ △ACB． 

∴ ．∴ ．

 ＝．

当2＜＜4时，．   

∴ 当时，满足2＜＜4，．    

综上所述，当时，值最大，最大值是2．

【学力训练】

1、（山东威海）（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．

∵ AB∥CD， 

∴ DG＝CH，DG∥CH． 

∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1． 

∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，

∴ △AGD≌△BHC（HL）．  

∴ AG＝BH＝＝3．

∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， 

∴ DG＝4．                                

∴ ．   

（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， 

∴ ME＝NF，ME∥NF． 

∴ 四边形MEFN为矩形． 

∵ AB∥CD，AD＝BC，   

∴ ∠A＝∠B． 

∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，    

∴ △MEA≌△NFB（AAS）．

∴ AE＝BF．     

设AE＝x，则EF＝7－2x．

∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，   

∴ △MEA∽△DGA．

∴ ．∴ ME＝．    

 ∴ ． 

当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．

（3）能．    

由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝． 

若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF． 

    即 7－2x．解，得 ．

∴ EF＝＜4． 

∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为． 00000000………….

2、（浙江温州市）（1），，，．

点为中点，．

，．

，

，．

（2），．

，，

，，

即关于的函数关系式为：．

（3）存在，分三种情况：

①当时，过点作于，则．

，，

．

，，

，

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