2007年杭州市第一次高考科目教学质量检测
数学试题卷（理科）
考生须知:
1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.
2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.
4. 考试结束, 只需上交答题卷.
参考公式
如果事件
互斥，那么
;
如果事件相互独立，那么 
;
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
.
一. 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 .
1. 已知集合A ={ x | x <
}，B ={ x | x > 4 }, 则有 （ ）
(A) 
A∩B
(D) 2A∪B
2. 下列各图象表示的函数中，不存在反函数的是（ ）
 |
3．200件产品中有197件合格品，3件次品，现从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）
（A）
+
种 （B）种（C）
种（D）
4. 一个电路上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根熔丝熔断相互独立，则至少有一根熔断的概率为（ ）
（A）0.15×0.26＝0.039 （B）1－0.15×0.26＝0.961
（C）0.85×0.74＝0.629 （D）1－0.85×0.74＝0.371
5 已知| a | = 3,
| b | = 4, (a + b)?( a
+3 b) = 33, 则a与b的夹角
为 ( )
(A) 
(B)
(C)
(D)
6. 若z = 
+
i, 且 ( x ? z ) 4 = a 0x 4 + a 1x
3 + a 2x2 + a 3x +a 4 , 则 a 2 等于( )
(A) ?+i (B) ?
3 + 
i (C) 
+i (D) ? 3 ?i
7. 已知三个不等式：
（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
8. 定义在R上的偶函数
满足
，当x∈[3，4]时，
，则有 （ ）
(A) 
(B)
(C) 
(D)
9. 已知曲线
在点P处切线与直线
的夹角为450，那么点P坐标为（ ）
(A)（? 1，1） (B)
(C)
(D)
10. 已知
满足方程
，则
的最大值是( )
(A) 
(B) 2 (C)
4
(D) .
二．填空题: 本大题有4小题, 每小题4分, 共16分. 把答案填在答题卷的相应位置.
11.把函数f (x) = lg(1? x) 的图象按向量a = (?1 ,0 )平移， 所得图象的函数解析式是= .
12. 在△ABC中, |
| = 2, |
| = 3 , |
| =
, 则cosA= .
13. 若数列
的通项公式
，(n∈N*)，则该数列的前n项和Sn = 。
14.关于函数
，有下列命题：①周期是
；②
的图像关于直线
对称；③的图像关于点（
，0）对称；④在区间
上单调递减。其中正确命题的序号是 .
三. 解答题: 本大题有6小题, 每小题14分，共84分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
设
, 求
的值.
16. (本小题满分14分)
已知数列{an}的前
项和Sn= n (2n?1)，(n∈N*)
(1) 证明数列{an}为等差数列；
(2) 设数列{bn}
满足bn=
(n∈N*), 试判定: 是否存在自然数n, 使得bn = 900，若存在, 求出n的值；若不存在，说明理由；
17．(本小题满分14分)
某电信服务点有连成一排的7座电话亭，此时全都空着，现有2位陌生人各随机选择不同的一座电话亭打电话.
（1） 求这2人选择的电话亭相隔数的分布律和期望；
（2） 若电信管理员预言这2人之间至少相隔2座电话亭，求：管理员预言为真的概率.
18 . (本小题满分14分)
设A = {x | x ¹ kp +, k ÎZ }, 已知a = ( 2cos
, sin
), b = (cos, 3sin), 其中 a, b Î A,
(1) 若
a+b = 
, 且a =2
b，求a, b的值。
(2) 若a?b = 
, 求tanatanb的值.
19． (本小题满分14分)
已知函数
(a为非零实数)，设函数
.
（1）若f (? 2 ) = 0，求
的表达式；
（2）在（1）的条件下，解不等式1 £ | F ( x ) | £ 2;
（3）设mn < 0 , m + n > 0 , 试判断
能否大于0 ?
20. (本小题满分14分)
已知一列非零向量
,nÎN*, 满足:
, 
，(n ³ 2 ).，其中k是非零常数。
（1）求数列｛||｝是的通项公式；
（2）求向量
与的夹角；
;
（3）当k = 
时，把
，
，
, ，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为
，
，, 
, , 令
=
，O为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标。（注：若点坐标为
，且
，
，则称点B(t，s)为点列的极限点.）
2007年杭州市第一次高考科目教学质量检测
数学试题卷（理科）评分标准
一. 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 化
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
B
C
B
D
C
D
A
二．填空题: 本大题有4小题, 每小题4分, 共16分. 把答案填在答题卷的相应位置.
. 13.
14. ①15. (本小题满分14分)
由cosa + sina =, 得 2sinacosa = sin2a = 
< 0,
---5分
又由 0< a< p, 得p < 2a <
, --
4分
∴cos2a= ?
,
--- 5分
16. (本小题满分14分)
(1) 当
时，
= 4n ? 3 ，---
4分
当n = 1 时, a1 = S1 = 1, 适合. ∴a n =4n ? 3 ， --- 2分
∵
，所以为等差数列.
--- 2分
(2)∵ 
,
--- 2分
∴bn=
, ---2分,
由n2 = 900, 得 n = 30, 即存在满足条件的自然数, 且n =30. ---2分
17．(本小题满分14分)
分布律
X
0
1
2
3
4
5
P
--- 每格1分, 全对8分.
期望 E (X) = 0´+1´+2´+3´+4´+5´=
» 1.67， --- 3分
预言为真的概率P {X³2} = +++=
» 0.476. ---
3分
或 P {X³2} = 1 ? ?=» 0.476.
18 . (本小题满分14分)
(1) ∵ a+b = ,
∴a = ( 1, sin(
)), b = (
, 3sin()),
--- 4分
由a=2
b，得sin() = 0，
∴a = kp +
, b = ? kp +, k ÎZ.
--- 3分
(2) ∵a?b = 2cos2+ 3sin2= 1 + cos (a+b) +3
=+ cos (a+b) ? 
cos (a? b ) = ,
--- 3分
∴ cos (a+b) =cos (a? b ),
展开得2cosacosb ? 2sinasinb = 3cosacosb + 3sinasinb
即 ? 5sinasinb = cosacosb,
∵ a, b Î A,
∴ tanatanb= ?
.
--- 4分
19． (本小题满分14分)
（1）∵f (? 2 ) = 0，∴ 4a + 4 = 0, 得 a = ? 1,
∴
,
F
( x ) = 
.
--- 2分
（2） ∵| F (?x ) | = | F (x ) |, ∴| F (x )|是偶函数, 故可以先求x >0的情况,
当x > 0 时, 由| F (2 )| = 0, 故当
0
< x £ 2时,
解不等式 1 £ 
£ 2, 得 
£ x £ 
;
x
> 2时, 解不等式 1 £ 
£ 2, 得 
£ x £ 
;
综合上述可知原不等式的解为：
£ x £ 或£ x £ 或?£ x £?或?£ x £ ?.
---6分
（3）∵， ∴ F ( x ) = 
,
∵ mn < 0 , 不妨设 m > 0 , 则 n < 0 , 又 m + n > 0, ∴ m > ? n > 0 , ∴m2 > n2 , ---3分
∴ F (m) + F (n) = am2 + 4 ? an2 ? 4 = a ( m2 ? n2 ) > 0.
所以: 当a
> 0 时, 
能大于0,
当a < 0 时,
不能大于0.
---3分
20. (本小题满分14分)
（1）
---2分
=
| k | 
=| k |
, ，
∴
=| k | ¹ 0, 
= 5.
∴｛||｝是首项为5公比为| k |的等比数列.
∴ = 5(| k |)n ? 1 ---- 2分
（2）
=
= k 
.
∴cos <
>=
,
---2分
∴当k > 0时，<>=
，
当k < 0时，<>=
.
---2分
(3) 当k = 时，由（2）知： 4<> = p,
∴每相隔3个向量的两个向量必共线，且方向相反，
∴与向量共线的向量为：｛
｝＝｛
｝, ---2分
记的单位向量为
，则
= ||
,
则= ||= |
|(| k |)n ? 1 .
= 
= ||(| k |)4n ? 4 (? 1)n ? 1=(? 4|k|4 ) n ? 1 = (10, ? 5 ) (?
) n ? 1 ---2分
设 
, 则 tn = 10[
]=10´
,
∴
，
.
∴点列{Bn}的极限点B的坐标为( 8, ? 4 ). ---2分