105.解：在定义域内任取x₁＜x₂，

∴f(x₁)－f(x₂)＝

，

∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x₁－x₂＜0，

只有当x₁＜x₂＜－b或－b＜x₁＜x₂时函数才单调．

当x₁＜x₂＜－b或－b＜x₁＜x₂时f(x₁)－f(x₂)＞0．

∴f(x)在(－b，+∞)上是单调减函数，在(－∞，－b)上是单调减函数．

评述：本小题主要考查了函数单调性的基本知识．

^※106.解：(1)f(0)=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．

(2)函数f(x)应该满足的条件和具有的性质是：f(0)=1，f(1)=，

在［0，+∞)上f(x)单调递减，且0＜f(x)≤1．

(3)设仅清洗一次，残留的农药量为f₁＝，清洗两次后，残留的农药量为

f₂＝，

则f₁－f₂＝．

于是，当a＞2时，f₁＞f₂；当a=2时，f₁＝f₂；当0＜a＜2时，f₁＜f₂．

因此，当a＞2时，清洗两次后残留的农药量较少；

当a=2时，两种清洗方法具有相同的效果；

当0＜a＜2时，一次清洗残留的农药量较少．

评述：本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力．以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法．

103.解：(1)∵x₁，x₂∈［0，］都有f(x₁+x₂)＝f(x₁)·f(x₂)，

∴f(x)=f()f()≥0，x∈［0，1］

f(1)=f(+)=f()·f()＝［f()］²

f()=f(+)=f()·f()=[f()]²，f(1)=a＞0，

∴．

(2)同上题(2)

(3)∵x∈［0，］满足f(x₁+x₂)＝f(x₁)f(x₂)，I＝2n(n∈Z)

∴f(x₁+2n+x₂+2n)＝f(x₁+2n)·f(x₂+2n)，

∵x₁，x₂在［2n，+2n］中也满足f(x₁+x₂)＝f(x₁)·f(x₂)

又∵f(1)=f(1)·f(0)，∴f(0)=1，∴f(2n)=1

又∵f()＝f²()，又∵f()＝a，∴f()＝a

∴a_n＝f(2n)f()＝a，∴

评述：本题考查函数的概念、图象，函数奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识．设计循序渐进，依托基本的函数，进行一定的抽象并附加了一些条件，得到了一个既抽象又有一定具体背景的周期函数，这种抽象考查了对函数概念、函数性质的认识程度，特别是运用函数已知的图形的几何特征进一步剖析，挖掘函数未知的性质。在本题的设计中，以中学函数的基本概念为出发点，问题的提升与深入自然、明确.从函数基本知识，基本技能的考查延伸到数列极限的考查衔接紧密合理自然.体现了综合性试题的多方面的要求.

^※104.解：设画面高为x cm，宽为λx cm，则λx²＝4840.

设纸张面积为S，有S＝(x+16)(λx+10)＝λx²+(16λ+10)x+160，

将x＝代入上式，得S＝5000+44(8).

当8 ＝，即λ＝(＜1时，S取得最小值，

此时，高：x＝＝88 cm，宽：λx＝×88＝55 cm.

答：画面高为88 cm，宽为55 cm时，能使所用纸张面积最小.

评述：本题主要考查建立函数关系式、求函数的最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．

102.(1)解：由f(x₁+x₂)＝f(x₁)·f(x₂)，x₁，x₂∈［0，］知

f(x)=f()·f()≥0，x∈［0，1］，∵f(1)=f(+)=f()·f()=

[f()]²，f(1)＝2，∴f()＝2．

∵f()=f(+)=f()·f()=[f()]²，f()=2，

∴f()=2．

(2)证明：依题设y=f(x)关于直线x=1对称，

∴f(x)=(1+1－x)，f(x)=f(2－x)

又∵f(－x)=f(x)，∴f(－x)=f(2－x)，∴f(x)=f(2+x)，

∴f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．

101.(1)证明：根据题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1.又f(x)=－b(x－)²+.∴f()=≤1，∵a>0，b>0，∴a≤2.

(2)证明：必要性：对任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1f(x)≥－1.据此可推出

f(1)≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1.

对任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1f(x)≤1，因为b>1，可得0<<1，可推出f()≤1，即a·－1≤1，∴a≤2，∴b－1≤a≤2.

充分性：因为b>1，a≥b－1，对任意x∈［0，1］，可以推出ax－bx²≥b(x－x²)－x≥－x≥－1，即ax－bx²≥－1，因为b>1，a≤2，对任意x∈［0，1］，可以推出：

ax－bx²≤2x－bx²－b(x－)²+1≤1，即ax－bx²≤1，∴－1≤f(x)≤1.

综上，当b>1时，对任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.

(3)解：因为a>0，0<b≤1时，对任意x∈［0，1］有f(x)=ax－bx²≥－b≥－1，即f(x)≥－1；

f(x)≤1f(1)≤1a－b≤1，即a≤b+1，又a≤b+1f(x)≤(b+1)x－bx²≤1，即f(x)≤1.

所以，当a>0，0<b≤1时，对任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要条件是a≤b+1.

评述：本题主要考查二次函数、不等式、充要条件的综合运用，考查分类讨论思想和逻辑推理能力以及思维能力.

100.解：(1)当θ=－时

f(x)=x²－x－1=(x－)²－，x∈［－1，］

∴x=时，f(x)的最小值为－

x=－1时，f(x)的最大值为

(2)函数f(x)=(x+tanθ)²－1－tan²θ图象的对称轴为x=－tanθ

∵y=f(x)在区间［－1，］上是单调函数

∴－tanθ≤－1或－tanθ≥

即tanθ≥1或tanθ≤－

因此，θ的取值范围是

99.解：(1)当a=－1时，f(x)=x²－2x+2=(x－1)²+1，x∈［－5，5］

∴x=1时，f(x)的最小值为1

x=－5时，f(x)的最大值为37

(2)函数f(x)=(x+a)²+2－a²图象的对称轴为x=－a

∵f(x)在区间［－5，5］上是单调函数

∴－a≤－5或－a≥5

故a的取值范围是a≤－5或a≥5.

98.解：(1)、(2)同上题

(3)解法一：由f(a²)=af(a)+af(a)=2af(a)

f(a³)=a²f(a)+af(a²)=3a²f(a)

猜测f(aⁿ)=na^n－1f(a).

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，f(a¹)=1·a⁰·f(a)，公式成立；

②假设当n=k时，f(a^k)=ka^k－1f(a)成立，

那么当n=k+1时

f(a^k+1)=a^kf(a)+af(a^k)=a^kf(a)+ka^kf(a)=(k+1)a^kf(a)，公式仍成立.

由上两步可知，对任意n∈N，f(aⁿ)=na^n－1f(a)成立.

所以

因为f(2)=2，f(1)=f(2·)=2f()+f(2)=0

所以f()=－f(2)=－

u_n=(－)·()^n－1(n∈N)

因此(n∈N)

解法二：当ab≠0时，

令g(x)=，则g(a·b)=g(a)+g(b)

故g(aⁿ)=ng(a)

所以f(aⁿ)=aⁿ·g(aⁿ)=naⁿg(a)=na^n－1f(a)

所以u_n=

(以下同解法一)

评述：这是一个研究抽象函数的问题，学生应该在第(1)问的基础上，利用奇偶函数的定义，计算f(－x)是此题的切入点.第(3)问应该在归纳假设的基础上，充分利用所给函数的关系式.

97.(1)解：f(0)=f(0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0

由f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1)，

得f(1)=0.

(2)f(x)是奇函数

证明：因为f(1)=f［(－1)²］=－f(－1)－f(－1)=0

所以f(－1)=0

f(－x)=f(－1·x)=－f(x)+xf(－1)=－f(x).

因此，f(x)为奇函数

(3)证明：先用数学归纳法证明u_n=f(2ⁿ)＞0(n∈N)

①当n=1时，u₁=f(2)=2＞0；

②假设当n=k时，u_k=f(2^k)＞0

那么当n=k+1时，u_k+1=f(2^k+1)=2f(2^k)+2^kf(2)=2f(2^k)+2^k+1＞0.

由以上两步可知，对任意n∈N，u_n=f(2ⁿ)＞0.

因为u_n＞0(n∈N)

所以u_n+1=f(2ⁿ⁺¹)=2f(2ⁿ)+2ⁿf(2)=2u_n+2ⁿ⁺¹＞u_n(n∈N)

96.解：(1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)²+|－x|+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.

当a≠0时，f(a)=a²+1，f(－a)=a²+2|a|+1，f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a).

此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数

(2)①当x≤a时，函数f(x)=x²－x+a+1=(x－)²+a+.

若a≤，则函数f(x)在(－∞，a］上单调递减，从而，函数f(x)在(－∞，a］上的最小值为f(a)=a²+1.

若a＞，则函数f(x)在(－∞，a上的最小值为f()=+a，且f()≤

f(a).

②当x≥a时，函数f(x)=x²+x－a+1=(x+)²－a+.

若a≤－，则函数f(x)在［a，+∞上的最小值为f(－)=－a，且f(－)≤f(a).

若a＞－，则函数f(x)在［a，+∞)上单调递增，从而，函数f(x)在［a，+∞)上的最小值为f(a)=a²+1.

综上，当a≤－时，函数f(x)的最小值是－a.

当－＜a≤时，函数f(x)的最小值是a²+1.

当a＞时，函数f(x)的最小值是a+.

评述：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为x∈R，f(0)=|a|+1≠0，由此排除f(x)是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f(x)是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想.

95.解：(1)f(2)=3，f(－2)=7

由于f(－2)≠f(2)，f(－2)≠－f(2)

故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数

(2)f(x)=

由于f(x)在［2，+∞)上的最小值为f(2)=3，在(－∞，2)内的最小值为.

故函数f(x)在(－∞，+∞)内的最小值为.

评述：因为奇偶函数问题要紧紧抓住“任取”“都有”这两个关键词.f(－x)与f(x)要同时有意义，f(x)与f(－x)要么相等，要么互为相反数，而要讨论非奇非偶只要说明不满足上述两点之一即可.另外，也可以借助分段函数的草图，帮助分析，然后用代数方法来回答.