摘要：解:同上题 (3)解法一:由f(a2)=af(a)+af(a)=2af(a) f(a3)=a2f(a)+af(a2)=3a2f(a) 猜测f(an)=nan-1f(a). 下面用数学归纳法证明: ①当n=1时.f(a1)=1·a0·f(a).公式成立, ②假设当n=k时.f(ak)=kak-1f(a)成立. 那么当n=k+1时 f(ak+1)=akf(a)+af(ak)=akf(a)+kakf(a)=(k+1)akf(a).公式仍成立. 由上两步可知.对任意n∈N.f(an)=nan-1f(a)成立. 所以 因为f(2)=2.f(1)=f(2·)=2f()+f(2)=0 所以f()=-f(2)=- un=(-)·()n-1(n∈N) 因此(n∈N) 解法二:当ab≠0时. 令g(x)=.则g(a·b)=g(a)+g(b) 故g(an)=ng(a) 所以f(an)=an·g(an)=nang(a)=nan-1f(a) 所以un= 评述:这是一个研究抽象函数的问题.学生应该在第(1)问的基础上.利用奇偶函数的定义.计算f(-x)是此题的切入点.第(3)问应该在归纳假设的基础上.充分利用所给函数的关系式.

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