摘要：(1)证明:根据题设.对任意x∈R.都有f(x)≤1.又f(x)=-b(x-)2+.∴f()=≤1.∵a>0.b>0.∴a≤2. (2)证明:必要性:对任意x∈［0.1］.|f(x)|≤1f(x)≥-1.据此可推出 f(1)≥-1.即a-b≥-1.∴a≥b-1. 对任意x∈［0.1］.|f(x)|≤1f(x)≤1.因为b>1.可得0<<1.可推出f()≤1.即a·-1≤1.∴a≤2.∴b-1≤a≤2. 充分性:因为b>1.a≥b-1.对任意x∈［0.1］.可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1.即ax-bx2≥-1.因为b>1.a≤2.对任意x∈［0.1］.可以推出: ax-bx2≤2x-bx2-b(x-)2+1≤1.即ax-bx2≤1.∴-1≤f(x)≤1. 综上.当b>1时.对任意x∈［0.1］.|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2. (3)解:因为a>0.0<b≤1时.对任意x∈［0.1］有f(x)=ax-bx2≥-b≥-1.即f(x)≥-1, f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1.即a≤b+1.又a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx2≤1.即f(x)≤1. 所以.当a>0.0<b≤1时.对任意x∈［0.1］.|f(x)|≤1的充要条件是a≤b+1. 评述:本题主要考查二次函数.不等式.充要条件的综合运用.考查分类讨论思想和逻辑推理能力以及思维能力.

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