(湖南)棱长为的正方体的个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为

．(安徽文)把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，折成直二面角后，在四点所在的球面上，与两点之间的球面距离为

(江西)如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是

点是的垂心

垂直平面

的延长线经过点

直线和所成角为

(天津)如图，在斜三棱柱中，

，，，

侧面与底面所成的二面角为，

分别是棱、的中点.

求与底面所成的角；

证明：∥平面；

求经过四点的球的体积.

将正方形折成正四棱柱的侧面，正方形的对角线被折成折线，则

为定值　　　　

有一个长方体形的水泥构件，其中，，，

现在小蚂蚁要从点沿表面到放有食物的点，则小蚂蚁需走的最短路线长为

已知体积为的正三棱锥的外接球的半径是，且满足，则其外接球的表面积是　　　　 (用含及数字作答，不能含)

如果是线段上一点，则；类比到平面的情形：若是内一点，有；类比到空间的情形：若

是四面体内一点，则有　　　 　　　　　　　　　　

三棱锥的条棱中，其中条棱的长都是，则第条棱长的取值范围是

(届高三湖北八校月考)如图，所在的平面和

四边形所在的平面垂直，且，，

，，，，则点

在平面内的轨迹是

圆的一部分　　　　　　　 椭圆的一部分

双曲线的一部分　　　　　 抛物线的一部分

(届高三安徽省江南十校联考)如图，已知正方体

的棱长为，长为的线段的

一个端点在棱上运动，点在正方形

内运动，则中点的轨迹的面积为

四面体的一条棱长为，其它各棱长为，若将四面体的体积表示为的函数，则函数的单调递减区间为

问题1． (江西)如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，,，，是上一动点，则的最小值

是　　　　　 　

问题2．将如图所示的直角梯形(图中所示数字为对应线段长度)沿直线折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图所示，求异面直线与所成角的大小；求二面角的大小；这五个点在同一球面上，求该球的表面积.

问题3．(江西)右图是一个直三棱柱(以为底面)被一平面所截得到的

几何体，截面为．已知，，，，.设点是的中点，证明：∥平面

求二面角的大小；

求此几何体的体积 .

问题4． (重庆)如图，在直三棱柱中，

，，；点分别在，

上，且，四棱锥与直三棱柱的

体积之比为．求异面直线与的距离；

若，求二面角的平面角的正切值．

折叠问题的计算与证明：一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用:折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变;位于棱两侧的位置关系与数量关系变，折前折后的图形结合起来使用.

(陕西)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是　 　　　　　　

(辽宁)若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为　　　　　　　　

(全国Ⅱ)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上。如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为　　　　　　　 　

正方体、正多面体、凸多面体、简单多面体是什么关系？

已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱相交，试求该凸多面体的面数、顶点数和棱数.

一个广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个长半轴为的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是　　　

在球面上有四个点、、、，如果、、两两互相垂直，且，那么这个球面的面积是 　　

北纬的圆把北半球面积分为两部分，这两部分面积的比为

已知过球面上、、三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，

且，则球面面积是

正八面体的相邻两个面所成二面角的大小为

问题1．(辽宁)棱长为的正方体，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的

八面体的体积为 　　　　　　　　　　　

已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等且为，把它们拼起来，使一个表面重合，所得的多面体有多少个面？

问题2．(天津)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为　　　　　　　　 　

(全国Ⅰ文)正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点

都在同一个球面上，则该球的体积为　　　　　　

(江西文)四面体的外接球球心在上，且，，

在外接球面上两点、间的球面距离是　　 　　　

(陕西)水平桌面上放有个半径均为的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这个球的上面放个半径为的小球，它和下面个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面的距离是　　　　　　　

问题3． (四川)设球的半径是，、、是球面上三点，已知到、两点的球面距离都是，且二面角的大小为，则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是

问题4．三棱锥的两条棱，其余各棱长均为，求三棱锥的内切球半径和外接球半径.

问题5．已知球的半径为，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?

每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.

正多面体有且只有种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.

简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续(不破裂)变形，最后可变为一个球面.如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体.

说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体

五种正多面体的顶点数、面数及棱数：

正多面体	顶点数	面数	棱数
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体

欧拉定理(欧拉公式)：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式： 计算棱数常见方法： ； 各面多边形边数和的一半；顶点数与共顶点棱数积的一半.

球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球

球的截面：用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面.

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆

两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.(为球心角的弧度数).

球的表面积和体积公式：，.

(安徽)在正方体上任意选择个顶点，它们可能是如下各种几何形体的个顶点，这些几何形体是　　 　　　　　　　(写出所有正确结论的编号).

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. (北京春) 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为，，，

把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是

(上海)有两个相同的直三棱柱，高为，底面

三角形的三边长分别为、、 ().用它们

拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积

最小的是一个四棱柱，则的取值范围是　　　　　

(上海春)正四棱锥底面边长为，侧棱长为，则其体积为　　　　　　

(全国Ⅰ)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为，则该三角形的斜边长为　　　　 　　

(江苏)正三棱锥高为，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是　　　　　　

一个正三棱锥与一个正四棱锥，它们的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体可能是

正四棱锥　　　 正五棱锥　　　 斜三棱柱　　　　 正三棱柱

如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角相等，且

顶点在底面的射影为，在内，那么是的　

垂心 　　　　　　重心　 　　　　　外心　 　　　　内心

如图，在直三棱柱中，，

，、为侧棱上的两点，且，

则多面体的体积等于　　　　　　

过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比(自上而下)为　　　　　 　　　　　　　

在三棱锥中，，则侧棱与侧面所成的角的大小是　　　　　

三棱锥一条侧棱长是，和这条棱相对的棱长是，其余四条棱长都是，求棱锥的体积.

平行六面体　 的底面是矩形，

侧棱长为　 ，点在底面上的射影

是的中点，与底面成角，

二面角为 ，求该平行六面体

的表面积和体积.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(届高三合肥市三检)正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，过正三棱柱底面上的一条棱作一平面与底面成的平面角，则该平面与平面所截得的线段长等于　　　　　　　　　

(届高三宝鸡中学第四次月考)在直四棱柱中，， ，，，垂足为.

　 求证：；求异面直线与所成的角.