周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得

恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，

则()也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数满足对定义域内任一实数(其中为常数),

①　　 ，则是以为周期的周期函数；

　②，则是以为周期的周期函数；

③，则是以为周期的周期函数；

　④，则是以为周期的周期函数；　　　　　　　　　

⑤，则是以为周期的周期函数.

⑥，则是以为周期的周期函数.

⑦，则是以为周期的周期函数.

⑧函数满足()，若为奇函数，则其周期为，

若为偶函数，则其周期为.

⑨函数的图象关于直线和都对称，则函数是以

为周期的周期函数；

⑩函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；

⑾函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；

(天津)在上定义的函数是偶函数，且，若在区间

是减函数，则函数

在区间上是增函数，区间上是增函数

在区间上是增函数，区间上是减函数

在区间上是减函数，区间上是增函数

在区间上是减函数，区间上是减函数

(辽宁文)函数的单调增区间为(　　 )

(福建)已知函数为上的减函数，则满足的实数的范围是　 　　　　　　　　　

(天津)在上定义的函数是偶函数，且，若在区间

上是减函数，则

在区间上是增函数，在区间上是增函数

在区间上是增函数，在区间上是减函数

在区间上是减函数，在区间上是增函数

在区间上是减函数，在区间上是减函数

(重庆)已知定义域为的函数在上为减函数，且函数

为偶函数，则　

(山东)下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是

(天津)若函数在区间内单调递增，

则的取值范围是　　 　　　　　　

(重庆)若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，

则使得的的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ；　　　 ；；　

(北京文)已知是上的增函数，那么的取值范围是

(以前)已知若试确定的单调区间和单调性．

(全国Ⅰ文)设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。

(安徽文)设函数，已知是奇函数。(Ⅰ)求、的值。(Ⅱ)求的单调区间与极值。

利用函数单调性定义证明：＝在上是减函数

函数在上为增函数，则实数的取值范围

下列函数中，在区间上是增函数的是　　 　　　　　

已知在上是的减函数，则的取值范围是

为上的减函数，，则

如果奇函数在区间上是增函数，且最小值为，那么在区间上是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　增函数且最小值为　　 　 　 　　增函数且最大值为

减函数且最小值为　　　　　　 减函数且最大值为

已知是定义在上的偶函数，它在上递减，那么一定有

　　　 　　　　　　　　　　　　　　 ≥

　　　　　　　　　　　　　　 ≤

已知是偶函数，且在上是减函数，则是增函数的区间是

(湖南文)若与在区间上都是减函数，则

的取值范围是(　 ) 　　

(上海)若函数在上为增函数,则实数、的范围是

已知偶函数在内单调递减，若，，，则、、之间的大小关系是_____________

已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数

的取值范围.

已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.

设，是上的偶函数．求的值；

证明在上为增函数．

(北京东城模拟)函数对任意的，都有，

并且当时.求证：是上的增函数；

若，解不等式

已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有

，且当时，

求证：是偶函数； 在上是增函数；

解不等式．

函数的递增区间是　　　　　 　　

已知是上的奇函数，且在上是增函数，则在上的单调性为

已知奇函数在单调递增，且，则不等式的解集是

若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是

函数在递增区间是，则的递增区间是

问题1．(全国,节选)设函数，其中.略；

　　 求证：当≥时，函数在区间上是单调函数

问题2．已知函数在区间上是增函数，试求的取值范围

问题3．求下列函数的单调区间：

问题4．若函数在单调递增，且，则实数的取值范

围是　　 　　　　

若,则不等式＜的解集为 　　　　

问题5．(山东模拟)设是定义在上的函数，且对任意实数、都有

.求证：是奇函数；若当时，有，

则在上是增函数.

讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

判断函数的单调性的方法有：用定义；用已知函数的单调性；利用函数的导数；如果在区间上是增(减)函数，那么在的任一非空子区间上也是增(减)函数图象法；复合函数的单调性结论：“同增异减” 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.

　互为反函数的两个函数具有相同的单调性．

在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。

函数在上单调递增；

在上是单调递减。

证明函数单调性的方法：利用单调性定义①；利用单调性定义②

函数单调性的定义：

①如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。

②设函数在某区间内可导，若，则为的增函数；若，则为的减函数.

单调性的定义①的等价形式：

设，那么在是增函数；

在是减函数；

在是减函数。

复合函数单调性的判断．

函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.

即若在区间上递增(递减)且()；

若在区间上递递减且.().

①比较函数值的大小②可用来解不等式.③求函数的值域或最值等

　(全国)已知函数，若，则

　(全国Ⅰ文)已知函数，若为奇函数，则　　　　 　　

(江苏)已知，函数为奇函数，则

(辽宁)设是上的任意函数，下列叙述正确的是(　)

是奇函数　　 是奇函数

是偶函数　　 是偶函数

(辽宁文)已知为奇函数，若，则　　 　

(广东)若函数，则是(　　 )

最小正周期为的奇函数　　　　　 最小正周期为的奇函数

最小正周期为的偶函数　　　　 最小正周期为的偶函数

(海南)设函数为奇函数，则　　　　　

(海南文)设函数为偶函数，则　　　　　

(江苏)设是奇函数，则使的的取值范围是

　(江西)设函数是上以为周期的可导偶函数，则曲线

在处的切线的斜率为 　　　 　 　　 　　　 　　

设为实数，函数，．　

讨论的奇偶性； 求 的最小值．

(上海，本题满分分)已知函数，常数.

讨论函数的奇偶性，并说明理由

若在上是增函数，求的取值范围.

判断下列函数的奇偶性：

；　　　　　 ；

；　 　　　　　　；

(其中，)

(南昌模拟)给出下列函数①②③④，

其中是奇函数的是(　　 )　 ①②　 　①④　　 　②④　　 　③④

已知函数在是奇函数，且当时，，则时，

的解析式为_______________

(上海春)已知函数是定义在上的偶函数.当时，

，则当时，　　 　　　　　　

已知为上的奇函数，当时，，那么的值为

若为偶函数，为奇函数，且，则　　　　 　，

定义在上的函数是奇函数，则常数____,_____

(北京西城模拟)已知函数对一切，都有，

求证：为奇函数；若，用表示.

( 重庆文)已知定义域为的函数是奇函数。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

设是定义在上的奇函数，且，又当≤≤时，，证明：直线是函数图象的一条对称轴；

当时，求的解析式

已知函数,是偶函数,则 　　　　

已知为奇函数，则的值为　　　　　　

已知，其中为常数，若，

则_______　　

若函数是定义在上的奇函数，则函数的图象关于

轴对称　　 轴对称　　 原点对称　　 以上均不对

函数是偶函数，且不恒等于零，则

是奇函数　　　　　　　　　　　 是偶函数　　　

可能是奇函数也可能是偶函数　　 不是奇函数也不是偶函数