问题1．(全国Ⅱ)的展开式中常数项为　　 (用数字作答).

求展开式中的系数(要求用两种方法解答).

求展开式中系数最大的项

求展开所得的多项式中，系数为有理数的项数

问题2．已知，

则　　　 　　　　　　

(安徽文)已知，

则的值等于　　　　　　　 ．

(浙江)若多项式，则

(天津)设，则　　　　　

问题3．求的近似值(精确到)

已知能被整除，则最小值　　

问题4．求证：≤()；你能把不等式中的上限变得更小些吗？

二项式定理及其特例：

，

二项展开式的通项公式：

常数项、有理项和系数最大的项：

求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.

二项式系数表(杨辉三角)

展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.

二项式系数的性质：

展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点(如图)

对称性．

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等()．直线是图象的对称轴.

增减性与最大值：

当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值.

各二项式系数和：∵，

令，则

在使用通项公式时，要注意：

通项公式是表示第项，而不是第项.展开式中第项的二项式系数与第项的系数不同.通项公式中含有五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程(或方程组).这里必须注意是正整数，是非负整数且≤. 证明组合恒等式常用赋值法.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.要注意区分项的系数与项的二项式系数. 二项式展开式系数可用通项公式及组合知识.

用二项式定理进行近似运算，关键是恰当地舍取不影响精度的项，一般地：当

很小时，有.

(福建)某校高二年级共有六个班级，现从外地转入名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排名，则不同的安排方案种数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(福建文)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为

(四川)用数字可以组成没有重复数字，并且比大的五位偶数

共有　　 个　　　　　 个　 　　 个　　　 个

(北京文)某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有个 个 个 个

(湖北)已知直线(是非零常数)与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有

条　　　　 条　　　　 条　　　　 条

(上海文)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”. 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(北京东城区模拟)组合数　　　　

(昆明一模)如图，为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法共有　　 种　　 种　　 种　　 种

(届高三湖南省十二校一联)如图，正五边形

中，若把顶点染上红、黄、绿

三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，

则不同的染色方法共有　　　　　　　　　 种 .

(湖北八校二联)用四种不同的颜色给正方体的六个面染色，

要求四种颜色用完，且相邻两个面涂不同的颜色，则所有不同的涂色方法共有

种　　　　 种　　　　　 种　　 　　　种

某人用步恰好上完个台阶，则有　　　　 　种不同上法.

个人站成一排，男女相间有　　　　 　种排法,如果其中某三人站在一起，另外四人排在一起有　　　　 　种排法,若其中甲乙之间各一人有　　　　 　种排法.

下面是高考第一批录取的一份志愿表：

　现有所重点院校，每所重点院校有个

专业是你较为满意的选择，如果表格填满

且规定学校没有重复，同一学校的专业也

没有重复，不同的填写方法的种数是：

一个三位数称为“凹数”，如果该三位数同时满足且，那么所有不同的

“凹数”的个数是　　　　　　　　

(雅礼中学月考)已知，从到的映射满足：①≤

≤≤≤；②的象有且只有个，则适合条件的映射的个数是

问题1．填空：①已知，，则　　 　　　　　；

②已知，则　　　　　 ；③已知，则　　　　　

计算：①；　　　 　②

问题2．(北京)记者要为名志愿者和他们帮助的为老人拍照，要求排成一排，位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有种种种种

(全国Ⅰ)安排位工作人员在月日到月日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在月日和日，不同的安排方法共有　　 种。(用数字作答)

个人站成一排，其中互不相邻且也互不相邻的排法有多少种？

问题3．(江苏)今有个红球、个黄球、个白球，同色球不加以区分，

将这个球排成一列有　　　 　　　种不同的方法(用数字作答).

(湖北联考)本不同的书，平均分成三堆，每堆两本，有种不同的分法；

若分成三堆，有两堆各本，另一堆本，有种不同的分法，则　　　

问题4．(陕西)安排名支教教师去所学校任教，每校至多人，则不同的分配方案共有　　　　 种．(用数字作答)

(陕西)某校从名教师中选派名教师同时去个边远地区支教(每地人),其中

甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有　　　　　　 种

(辽宁)有两排座位，前排个座位，后排个座位，现安排人就座，

规定前排中间的个座位不能坐，并且这人不左右相邻，那么不同排法的种数是

问题5．按下列要求分配本不同的书，各有多少种不同的分配方式：

如果每人得本有多少种不同的分法？

如果甲得本，乙得本，丙得本有多少种分法？

如果一人得本，一人得本，一人得本有多少种分法？

平均分成三堆，每堆本有多少种分法？

问题6． 五个人并排站成一排，则不同的排法有种种种种

一名老师和四名学生排成一排，老师不在两端，则不同的排法有　　　　　 种.　

从台甲型和台乙型电视机中任取台，其中至少要甲、乙电视机各一台，则不同的取法有　　　　 　种.

把个相同的小球放入编号为的盒子中，问每个盒子中至少有个小球的不同放法有多少种？

排列的概念：从个不同元素中，任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

排列数的定义：从个不同元素中，任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

排列数公式：()

阶乘：表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘规定．

组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.

组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

组合数公式：.

组合数的性质:．规定：； 　＝+

附有限制条件的排列:

①优先特殊元素(或位置)②相邻问题：“捆绑法””③不相邻问题：“插空法

④复杂问题：“排除法”⑤机会均等法；

组合问题常见解题方法：

注意“至少”、“最多”、“含”等词

区分“分配”与“分组”：“分组问题”的特征是组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，即指把物件分成组，是无顺序可言的；而“分配”问题即使元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的，或者是指把物件分给不同的人(或团体)，是有顺序的，解分配问题必须先分组后排列，若平均分组，则分法取法/

隔板分组法：常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题.

(湖北文)把一同排张座位编号为的电影票全部分给个人，每人至少分张，至多分张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是　　　　 　　　　　　　　　　

(天津)从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的、，

则能组成落在矩形区域，且内的椭圆个数为

(全国Ⅰ文)甲、乙、丙位同学选修课程，从门课程中，甲选修门，乙、丙各选修门，则不同的选修方案共有　 种　 种　 种　 种

(全国Ⅱ文)位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有　　 种　　　 种　　 种　　 种

有一项活动，需在名老师、名男生和名女生中选人参加.

若只需人参加，有多少种不同的选法？

若需老师、男生、女生各人参加，有多少种不同的选法？

若需名老师、名学生参加，有多少种不同的选法？

三边长均为正整数，且最大边长为的三角形的个数为

若是定义域为≤≤，，值域为的函数，

则这样的函数共有　　　 个　　 个　　　 个　　 个

名高中毕业生报考其中的所重点院校，每人只报一所院校，则有多少种不同的报名方法？名高中毕业生报考其中的所重点院校，每人只报一所院校，每个院校仅允许报一名，有多少种不同的报名方法？

从，…，九个正整数中任取两个不同的数字分别作为对数和真数，共可以得到多少个不同的对数值?

从中任取个不同的数作为抛物线方程()

的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？

将封信投入个邮筒，不同的投法共有

　 　　　种　　　 　种　　　 　种　　　 　种

个学生在本不同的参考书中各挑选一本，不同选法种数是

问题1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

三人传球，由甲开始发球，并作第一次传球，经过次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有　　 种　　 种　　 种　　 种

问题2．(广州综合测试)某文艺团下基层进行宣传演出，原准备的节目表有

个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入个小品节目，并且这个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，那么不同的插入方法有

种　　　　 种　　　　 种　　　　　　 种

用种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图),要求在①、②、③、④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用

同一种颜色.

(Ⅰ)若，为甲着色时

共有多少种不同等方法？

(Ⅱ)若为乙着色时共有

种不同方法，求.

正整数的正约数有　　　　 　个.

问题3．某外语组有人，每人至少会英语和日语中的一门，其中人会英语，人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？

分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 　种不同的方法.

分步计数原理(乘法原理)：

做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事有：

　　　 　种不同的方法.

正确区分和使用两个原理是学好本章的关键.区分“分类与分步”的依据在于能否“一次性”完成. 若能“一次性”完成，则不需“分步”，只需分类；否则就分步处理.有些较复杂的问题，既要“分类”，又要“分步”，应明确按什么标准“分类”，“分步”，不同的标准，可以有不同的解法，解题时应择优而行.在应用计数原理时，要仔细审题，分清是允许重复，还是不允许重复.